Категорія: Методи розв’язування систем лiнiйних алгебраїчних рівнянь

Розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера

Метод Крамера – це метод розв’язування систем лінійних рівнянь. Він застосовується тільки до систем, у яких число рівнянь збігається з числом невідомих і визначник яких відмінний від нуля. Будь-яка «крамерівська» система рівнянь має єдиний розв’язок.

Отже, нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

Система лінійних рівнянь

де коефіцієнти і є заданими, а вектор – називається розв’язком цієї системи.

Як уже зазначалося вище, якщо визначник системи (1) не дорівнює нулю (), то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:

Знаходження нормального псевдорозв’язку для систем з прямокутною або виродженою матрицею

При розгляді чисельних методів призначених для розв’язку систем рівнянь, завжди вважалось, що матриця коефіцієнтів при невідомих системи є квадратною, тобто з однаковою кількістю рядків і стовпців. Якщо, наприклад, кількість рядків (кількість рівнянь в системі) буде меншою, ніж кількість стовпців (фактично, кількості невідомих), то система буде невизначеною і всі точні та ітераційні методи рішення лінійних систем, являтимуться неефктивними. Тобто ми не зможемо однозначно визначити всі невідомі.

Але це не єдине обмеження. З векторної алгебри відомо, що система лінійних рівнянь має однозначне рішення тоді і тільки тоді, коли її головний визначник не дорівнює нулю. Що ж робити, коли він (визначник) все-таки дорівнює нулю?

З класичної точки зору, системи такого типу (з прямокутною, або квадратною але виродженою матрицею) розв’язків не мають, але для них вводять поняття узагальненого розв’язку (псевдорозв’язок). Розглянемо дане поняття більш детально.

Знаходження розв’язку системи однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь

Нехай задана система однорідних рівнянь наступного вигляду:

або у векторно-матричній формі , де

Якщо визначник матриці коефіцієнтів даної системи відмінний від нуля, то в силу формул Крамера система (1) має нульовий розв’язок (), і причому єдиний.

Якщо ж , то в цьому випадку система (1) має безліч розв’язків, в тому числі і ненульові. З (2) випливає, що якщо – розв’язок системи рівнянь (2) то , де – довільна стала, також є розв’язком цієї системи; якщо і – розв’язок системи (2), то сума і – також є розв’язком цієї системи.

Метод ортогоналізації. Знаходження розв’язку СЛАР методом ортогоналізації

Нахай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) , яку необхідно розв’язати використовуючи метод ортогоналізації (заснований на процесі ортогоналізації системи векторів). Для цього, на першому кроці, приєднаємо вектор вільних членів до матриці коефіцієнтів . В результаті, система (1) набуде наступного вигляду:

де – вектор-рядки (); – вектор-стовпець. Далі, систему векторів доповнимо додатковим вектором після чого, до отриманої системи векторів застосуємо процес ортогоналізації, який складається з побудови ортонормованої системи і який реалізується за наступними рекурентними формулами:

Метод відображень. Розв’язок систем лінійних рівнянь методом відображень

Алгоритм методу Хаусхолдера (також відомий як метод відображень) при знаходженні розв’язку системи лінійних рівнянь складається з -го кроку (де – розмірність матриці), після виконання яких матриця системи (1) приводиться до верхньої трикутної формі. Наступним етам алгоритму є відшукання значень вектора невідомих, які отримують аналогічно, як і у методі Гаусса, тобто спочатку знаходяться значення останньої компоненти вектора невідомих, потім передостанньої і так далі.

Розглянемо даний алгоритм більш детально. Нехай в результаті виконання -го кроку матриця коефіцієнтів і вектор вільних членів системи (1) набули наступного вигляду:

Опишемо послідовність дій -го крок алгоритму методу відображень. Метою даного кроку є обнулення всіх піддіагональних елементів -го стовпця матриці . Для цього визначимо вектор нормалі , де