Категорія: Трикутники

Синус, косинус, тангенс і котангенс гострого кута

Нехай в прямокутному трикутнику ABC сторони BC і AC є катетами, сторона AB – гіпотенузою і один з гострих кутів дорівнює α.

синус гострого кута, косинус гострого кута, тангенс гострого кута, котангенс гострого кута

Прямокутний трикутник ABC (кут ACB – прямий)

Відношення катетів до гіпотенузи BC / AB і AC / AB, а також відношення катета до катета BC / AC і AC / BC мають спеціальні назви: синус, косинус, тангенс і котангенс гострого кута (позначаються як sin(α), cos(α), tg(α) і tg(α) відповідно).

Читати далі

Розв’язування трикутників: типи задач на розв’язування трикутників

Розв’язування трикутників – це процес знаходження його невідомих сторін і кутів (іноді інших елементів) за даними, що визначають трикутник. Задачі такого типу часто зустрічається на практиці, наприклад в геодезії, астрономії, будівництві, навігації.

Розв'язування трикутників, як знайти сторону трикутника

Трикутник ABC

Розглянемо алгоритми рішення трьох задач.

Читати далі

Теорема Піфагора, формула і доведення

Теорема Піфагора говорить про зв’язок довжин катетів з довжиною гіпотенузи прямокутного трикутника. Так, якщо трикутник ABC прямокутний і , то . Вона дозволяє, знаючи катети, знайти гіпотенузу або, знаючи один з катетів і гіпотенузи, знайти інший катет. Наприклад, якщо AB = 8 см., AC = 15 см., то , звідки BC = 15 см.

Прямокутний трикутник, теорема Піфагора

Прямокутний трикутник ABC (кут A – прямий)

Отже, теорема Піфагора формулюється так: у прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто .

Читати далі

Теорема косинусів: формула, наслідки та приклади

Теорема косинусів дозволяє виразити довжину будь-якої сторони трикутника через довжини двох інших його сторін і косинус кута між ними. Наприклад, довжину сторони BC трикутника  через довжини сторін AB та AC і cos(α). Теорему косинусів можна назвати самою «використовуваною» в геометрії. Вона має численні наслідки, які часто використовуються при розв’язуванні задач.

Теорема косинусів

Трикутник ABC

Теорема косинусів формулюється так: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними, тобто:

Читати далі

Теорема синусів, формула і приклади

Як відомо, у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона. Нехай BC, AC, AB – сторони, α, β, γ – протилежні їм кути трикутника ABC відповідно. Якщо сторона BC – велика, AC – середня, AB – менша, то кут α – більший, β – середній, γ – менший. Встановимо точний зв’язок між довжиною сторони трикутника і величиною протилежного їй кута.

Теорема синусів

Трикутник ABC

Отже, згідно з теоремою синусів, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу кола, описаного навколо трикутника, тобто:

Читати далі