Розв’язок системи лінійних рівнянь методом простої ітерації

При великому числі невідомих у системі лінійних рівнянь, схема методу Гауса, яка дає точний розв’язок, стає досить складною. У цих умовах, для розв’язку системи рівнянь, доцільніше використовувати наближені чисельні методи. Одним з таких є метод простої ітерації (також називають метод послідовних наближень).

Нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

Система n лінійних рівнянь з n невідомими

Припускаючи, що діагональні коефіцієнти aii ≠ 0, розв’яжемо перше рівняння системи відносно x1, друге – відносно , третє рівняння – відносно x3 і так далі.

В результаті, отримаємо систему наступного вигляд:

Метод простої ітерації формули

де βi = bi / aiiαij = -aij / aii при i ≠ j і αij = 0 при i = j.

Увівши матриці

Матриця α і вектор стовпець β

систему (2) можна записати у матричній формі Метод простої ітерації формули. Систему (3) будемо розв’язувати методом послідовних наближень.

За початкове (нульове) наближення приймемо стовпець вільних членів, тобто x0 = β. Далі, послідовно будуємо матриці-стовпці x1 = β + α * x0 (перше наближення), x2 = β + α * x1 (друге наближення), x3 = β + α * x2 (третє наближення) і так далі.

Таким чином, (k + 1)-ше наближення обчислюють за формулою xk+1 = β + α * xk.  Зазначимо, що якщо послідовність наближень x0, x1, x2,..., xk,... має границю Границя послідовності x, то ця межа є розв’язком системи (2).

Запишемо формули наближень у розгорнутому вигляді:

Метод простої ітерації формули

Обчислювальний процес, визначений формулою (3) чи (5), має назву метод простої ітерації.

Зауваження: ітераційний процес методу простої ітерації необхідно продовжувати до тих пір, поки не буде виконуватись умова Умова зупинки методу простої ітерації, де ε – задана точність обчислювального процесу.

При використанні даного методу немає необхідності за нульове наближення x0 брати стовпець вільних членів. Збіжність процесу ітерації залежить тільки від властивостей матриці α.

Якщо цей процес збігається при виборі будь-якого початкового наближення, то він буде сходитись до того ж граничного вектора і при будь-якому іншому виборі цього початкового наближення. Тому початковий вектор x0 в процесі ітерації може бути вибраний довільно.

Достатня умова збіжності процесу ітерації наступна: якщо для приведеної системи (2) виконується хоча б одна з умов:

Умова збіжності методу простої ітерації

то ітераційний процес (3) збігається до єдиного розв’язку цієї системи, незалежно від початкового наближення.

Приклад 1: розв’язати систему лінійних рівнянь методом простої ітерації з точністю ε = 0.1:

Система 4 лінійних рівнянь з 4 невідомими

На першому кроці, задану систему запишемо у зручному для ітерації вигляду. Для цього перше рівняння системи розв’яжемо відносно невідомої x1, друге – відносно , третє – відносно x3 і так далі.

В результаті будемо мати:

Система записана у зручному для ітерації вигляду

Далі, взявши за початкове наближення коренів систем значення Початкове наближення коренів та підставивши їх у систему отриману на попередньому кроці , знаходимо перші наближені значення шуканих коренів:

Метод послідовних наближень ітерація номер 1

Після цього, перевіряємо умову закінчення ітераційного процесу, тобто знаходимо максимальне значення модуля різниці відповідних елементів векторів x1 та x0. Відмітимо, що в даному випадку дане максимальне значення являється більшим від заданого значення ε (Умова зупинки методу простої ітерації), тому продовжуємо ітераційний процес далі.

На наступному кроці, підставимо отримані значення у систему виду (2) (система отримана на першому кроці методу), і, таким чином, знайдемо друге наближення. Для ланого наближення, знову-таки, перевіряємо умову зупинки:

Метод послідовних наближень ітерація номер 2

З отриманих значень бачимо, що для другого наближення умова зупинки також не виконується, тому продовжуючи обчислювальний процес далі, на восьмій ітерації отримуємо значення, які задовольняють умову зупинки і які приймаємо в якості значень для шуканих коренів заданої системи:

Метод послідовних наближень ітерація номер 3 - 8

  1. Охарактеризуйте точні та наближені чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
  2. До якої групи відноситься метод простої ітерації?
  3. У чому полягає суть методу простої ітерації?
  4. Яка умова є критерієм досягнення заданої точності в методі послідовних наближень?
  5. Якою є умова збіжності методу простої ітерації.

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь методом простих ітерацій.

Метод простої ітерації блок-схема

Ми в соціальних мережах

2 коментаря

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*