Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (1), для якої потрібно знайти чисельний розв’язок:

Розглянемо розширену прямокутну матрицю, що складається з коєфіціентов системи (1) та її вільних членів:

Для даної матриці, згідно алгоритму методу Гаусса з вибором головного елемента, виберемо ненульовий, як правило, найбільший за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів, тобто . Нехай це буде елемент (даний елемент також називають головним елементом). Далі, для кожного рядка матриці (2), крім рядка під номером , обчислюємо множники:

Рядок під номером  матриці , тобто рядок, який містить головний елемент, називається головним рядком. На наступному кроці виконуємо насутпні дії: до кожного неголовного рядка матриці додаємо головний рядок помножений на відповідний для нього множник :

В результаті отримаємо нову матрицю, -й стовпець якої складатиметься з нульових елементів. Викреслюючи даний стовпець і-й (головний) рядок, отримаємо матрицю , яка складається з меншого на одиницю числа рядків і стовпців.

Над матрицею  повторюємо тіж операції, після чого отримуємо деяку матрицю , і так далі продовжуємо даний процес. Таким чином ми отримуємо послідовність матриць , остання з яких є матрицею-рядком, яка складається з двох елементів. Відмітимо, що даний рядок також вважається головним.

Для визначення невідомих , об’єднуємо в систему, починаючи з останнього, який входить в матрицю , всі головні рядки. Далі провівши відповідну перестановку рядків, отримуємо систему з трикутною матрицею, з допомогою якої, знаходимо розв’язок системи рівнянь (1). Метод Гаусса з вибором головного елемента застосовується для систем, детермінант яких відмінний від нуля:

І на кінець зауважимо, що метод Гаусса, є окремим випадком методу головних елементів. Тобто в схемі методу Гаусса, за головний елемент завжди береться лівий верхній елемент відповідної матриці.

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод Гаусcа з вибором головного елемента – приклад:

Використовуючи розглянутий вище алгоритм, знайти розв’язок системи рівнянь наступного виду:

Для зручності запишемо задану систему у вигляді прямокутної матриці (2):

Далі, слідуючи алгоритму методу, на першому етапі, серед елементів матриці , вибираємо максимальний за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів (головний елемент). В нашому випадку це буде елемент, який міститься в третьому рядку та четвертому стовпці (). Після цього, для кожного рядка матриці, крім третього, скориставшись формулою (3), обчислюємо множники :

На наступному кроці до кожного неголовного рядка (в даному випадку це будуть рядки під номером один, два та три) матриці додаємо головний рядок (третій рядок) помножений на відповідний для нього множник . Даний процес описується формулою (4). В результаті отримаємо матрицю наступного виду:

Далі, викреслюючи четвертий стовпець і третій (головний) рядок, отримаємо матрицю , яка складається з меншого на одиницю числа рядків і стовпців:

Після цього переходимо до етапу номер два, і над отриманою матрицею  повторюємо тіж операції, а саме: вибираємо головний елемент: ; для першого і другого рядка матриці обчислюємо множники :

До кожного неголовного рядка (в даному випадку це будуть рядки під номером один та два) матриці  додаємо головний рядок (третій рядок) помножений на відповідний для нього множник . Результатом виконання даного кроку буде матриця виду:

Далі, викреслюючи третій стовпець і третій (головний) рядок, отримаємо матрицю , після чого, переходимо до третього етапу:

Етап номер три: вибираємо головний елемент: ; для другого рядка матриці обчислюємо множник :

До кожного неголовного рядка (в даному випадку це буде рядок під номером два) матриці  додаємо головний рядок (перший рядок) помножений на відповідний для нього множник . Результатом виконання даного кроку буде матриця виду:

Далі, викреслюючи другий стовпець і перший (головний) рядок, отримаємо матрицю , яка складається з одного рядка і двох колонок:

На цьому процедуру приведення матриці до трикутного вигляду можна вважати завершеною. Переходимо до визначення невідомих . Для цього, як уже зазначалося вище, об’єднуємо в систему, починаючи з останнього, який входить в матрицю , всі головні рядки. В результаті отримуємо систему з допомогою якої, легко знаходимо невідомі:

Зауваження: для отримання системи трикутної форми, за бажанням можна зробити відповідну перестановку рядків та стовпців. Крім того відмітимо, що при перестановці стовпців змінюється порядок невідомих, тому в цьому випадку треба запам’ятати новий їх порядок. Для цього, як правило, формується масив з елементами, відповідними порядку невідомих. Зазначимо, що для початку, в цьому масиві повинен бути забезпечений порядок невідомих, наприклад, як у нашому випадку від 1 до 4. Після цього, у міру перестановки стовпців, відповідні елементи даного масиву теж необхідно поміняти місцями.

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод Гаусcа з вибором головного елемента

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*