Нехай дана система лінійних алгебраїчних рівнянь виду (1), для якої потрібно знайти чисельний розв’язок:
Розглянемо розширену прямокутну матрицю, що складається з коєфіціентов системи (1) та її вільних членів:
Для даної матриці, згідно алгоритму методу Гаусса з вибором головного елемента, виберемо ненульовий, як правило, найбільший за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів, тобто 
. Нехай це буде елемент 
(даний елемент також називають головним елементом). Далі, для кожного рядка матриці (2), крім рядка під номером 
, обчислюємо множники:
Рядок під номером матриці 
, тобто рядок, який містить головний елемент, називається головним рядком. На наступному кроці виконуємо насутпні дії: до кожного неголовного рядка матриці додаємо головний рядок помножений на відповідний для нього множник 
:
В результаті отримаємо нову матрицю, 
-й стовпець якої складатиметься з нульових елементів. Викреслюючи даний стовпець і-й (головний) рядок, отримаємо матрицю 
, яка складається з меншого на одиницю числа рядків і стовпців.
Над матрицею повторюємо тіж операції, після чого отримуємо деяку матрицю 
, і так далі продовжуємо даний процес. Таким чином ми отримуємо послідовність матриць 
, остання з яких є матрицею-рядком, яка складається з двох елементів. Відмітимо, що даний рядок також вважається головним.
Для визначення невідомих 
, об’єднуємо в систему, починаючи з останнього, який входить в матрицю 
, всі головні рядки. Далі провівши відповідну перестановку рядків, отримуємо систему з трикутною матрицею, з допомогою якої, знаходимо розв’язок системи рівнянь (1). Метод Гаусса з вибором головного елемента застосовується для систем, детермінант яких відмінний від нуля:
І на кінець зауважимо, що метод Гаусса, є окремим випадком методу головних елементів. Тобто в схемі методу Гаусса, за головний елемент завжди береться лівий верхній елемент відповідної матриці.
Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод Гаусcа з вибором головного елемента – приклад:
Використовуючи розглянутий вище алгоритм, знайти розв’язок системи рівнянь наступного виду:
Для зручності запишемо задану систему у вигляді прямокутної матриці (2):
Далі, слідуючи алгоритму методу, на першому етапі, серед елементів матриці , вибираємо максимальний за модулем елемент, який не належить стовпцю вільних членів (головний елемент). В нашому випадку це буде елемент, який міститься в третьому рядку та четвертому стовпці (
). Після цього, для кожного рядка матриці, крім третього, скориставшись формулою (3), обчислюємо множники :
На наступному кроці до кожного неголовного рядка (в даному випадку це будуть рядки під номером один, два та три) матриці додаємо головний рядок (третій рядок) помножений на відповідний для нього множник . Даний процес описується формулою (4). В результаті отримаємо матрицю наступного виду:
Далі, викреслюючи четвертий стовпець і третій (головний) рядок, отримаємо матрицю , яка складається з меншого на одиницю числа рядків і стовпців:
Після цього переходимо до етапу номер два, і над отриманою матрицею повторюємо тіж операції, а саме: вибираємо головний елемент: 
; для першого і другого рядка матриці обчислюємо множники :
До кожного неголовного рядка (в даному випадку це будуть рядки під номером один та два) матриці додаємо головний рядок (третій рядок) помножений на відповідний для нього множник . Результатом виконання даного кроку буде матриця виду:
Далі, викреслюючи третій стовпець і третій (головний) рядок, отримаємо матрицю 
, після чого, переходимо до третього етапу:
Етап номер три: вибираємо головний елемент: 
; для другого рядка матриці обчислюємо множник :
До кожного неголовного рядка (в даному випадку це буде рядок під номером два) матриці додаємо головний рядок (перший рядок) помножений на відповідний для нього множник . Результатом виконання даного кроку буде матриця виду:
Далі, викреслюючи другий стовпець і перший (головний) рядок, отримаємо матрицю 
, яка складається з одного рядка і двох колонок:
На цьому процедуру приведення матриці до трикутного вигляду можна вважати завершеною. Переходимо до визначення невідомих . Для цього, як уже зазначалося вище, об’єднуємо в систему, починаючи з останнього, який входить в матрицю , всі головні рядки. В результаті отримуємо систему з допомогою якої, легко знаходимо невідомі:
Зауваження: для отримання системи трикутної форми, за бажанням можна зробити відповідну перестановку рядків та стовпців. Крім того відмітимо, що при перестановці стовпців змінюється порядок невідомих, тому в цьому випадку треба запам’ятати новий їх порядок. Для цього, як правило, формується масив з елементами, відповідними порядку невідомих. Зазначимо, що для початку, в цьому масиві повинен бути забезпечений порядок невідомих, наприклад, як у нашому випадку від 1 до 4. Після цього, у міру перестановки стовпців, відповідні елементи даного масиву теж необхідно поміняти місцями.
Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод Гаусcа з вибором головного елемента
