Категорія: Арифметична прогресія

Властивості та сума членів арифметичної прогресії

Власне кажучи, знаючи теоретичний матеріал, що міститься в параграфі означення та формула обчислення -го члена арифметичної прогресії, можна знаходити розв’язок практично будь-якої задачі пов’язаної з арифметичною прогресією. Однак, уявіть ситуацію, що треба знайти суму арифметичної прогресії, що складається з ста елементів. Це що ж нам, один за одним додавати всі члени, з першого по останній? Зрозуміло, що такий підхід до рішення поставленої задачі є не досить зручним. В таких випадках використовується спеціальна формула, але перш ніж приступити до її виводу, розглянемо та доведемо необхідні для цього властивості арифметичної прогресії:

  1. Кожен член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному його сусідніх членів (виняток становить перший член, а у скінченній прогресії також і останній (мають тільки по одному сусідньому члену)).

    Покажемо істенність даного твердження. Отже, для члена , члени та будуть сусідніми. За означенням прогресії можемо записати наступне: . Звідси, . Взявши півсуму останніх рівностей, отримаємо , що і треба було довести.

  2. У скінченній арифметичній прогресії суми членів, рівновіддалених від її кінців, рівні між собою і дорівнюють сумі крайніх членів.

    Доведемо дане твердження також. Для цього, випишемо кілька пар членів, рівновіддалених від кінців прогресії: . Переглянувши отримані резільтати можна зробити висновок, що у кожної такої пари, сума їх номерів на одиницю більш числа членів прогресії. Таким чином, якщо на -му місці від початку прогресії знаходиться член , то на -му місці від її кінця знаходиться член . Скориставшись формулою загального члена арифметичної прогресії, знайдемо суму цих елементів:

    Звідси, виходячи з того, що , отримаємо , що і треба було довести.

Виведемо тепер формулу для суми членів скінченної арифметичної прогресії. Для прогресії, що має  членів, позначимо цю суму через . Запишемо вираз суми  двічі, один раз розташувавши члени прогресії по зростанню їх номерів, і другий раз – по спаданню:

Читати далі

Означення та формула обчислення загального члена арифметичної прогресії

Арифметичною прогресією називається така послідовність чисел, кожен член якої (починаючи з другого) дорівнює сумі попереднього члена і деякого фіксованого числа , яке називається кроком або різницею арифметичної прогресії.

До прикладу натуральний ряд чисел є нескінченною арифметичною прогресією з різницею , а послідовність непарних і парних чисел – нескінченними арифметичними прогресіями, для кожної з яких різниця дорівнює числу два ().

Арифметична прогресія при являється монотонною послідовністю: якщо , то прогресія зростає, якщо , то прогресія спадає, при вона постійна. Нескінченні арифметичні прогресії, для яких різниця не дорівнює нулю, як необмежені послідовності, границі не мають. Вони відносяться до категорії розбіжних послідовностей.

Нехай послідовність являє собою арифметичну прогресію з різницею . Виведемо формулу, для визначення члена даної прогресії через її перший член , крок  і номер . Для цього, скориставшись означенням арифметичної прогресії, розпишемо її другий та третій члени у наступному вигляді:

Читати далі