Категорія: Пряма лінія на площині

Відстань від точки до прямої на площині

Нехай на площині міститься пряма задана своїм рівнянням у загальному вигляді і деяка точка , що не лежить на даній прямій. Через точку проведемо перпендикуляр до заданої прямої і позначимо точку їх перетину через . Тоді відстань від точки до прямої буде дорівнювати відстані між точками та .

Відстань від точки до прямої

Графічне представлення алгоритму знаходження відстані від точки до прямої

Виведемо формулу для обчислення відстані від точки до прямої. Для цього приведемо рівняння заданої прямої до виду рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

Точка перетину двох прямих на площині

Нехай дано дві прямі, задані своїми рівняннями в загальному вигляді і . Знайдемо точку перетину цих прямих.

Точка перетину двох прямих

Так як ця точка належить кожній з двох даних прямих, то її координати повинні задовольняти як рівняння першої, так і рівняння другої прямої. Таким чином, для того щоб знайти координати точки перетину двох прямих, слід розв’язати систему рівнянь виду:

Рівняння прямої яка проходить через дві задані точки

Нехай задані дві точки та через які проходить пряма і для якої, використовуючи їх координати, необхідно знайти її рівняння. Для цього припустимо, що . Відмітимо, що в такому випадку пряма не паралельна осі ординат. А, як нам уже відомо, рівняння будь-якої прямої яка проходить через точку і не паралельна осі є рівняння виду:

Так як пряма проходить також і через точку , то координати даної точки повинні задовільняти цьому рівнянню. Підставляючи в рівняння (1), замість поточних координат, координати і , отримаємо . Звідси знаходимо:

Тобто кутовий коефіцієнт прямої дорівнює різниці ординат будь-яких двох її точок, розділеної на різницю абсцис цих точок. Підставивши знайдене значення в рівняння (1), отримаємо рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки і :

Рівняння прямої яка проходить через задану точку

Нехай задані точка і кутовий коефіцієнт , який визначає напрямок прямої лінії, що проходить через цю точку. Поставимо перед собою задачу, використовуючи відомі параметри, знайти рівняння прямої. Для цього, запишемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:

Відмітимо, що в даному рівнянні невідомим являється вільний член . Але виходячи з того, що пряма (1) проходить через точку , то координати цієї точки задовільняють рівняння прямої . Звідси отримаємо:

Підставляючи знайдене значення в рівняння (1), отримаємо , звідки:

Таким чином, ми отримали рівняння прямої, яка проходить через точку в заданому напрямку . Якщо ж розглядається задача, в якій задана тільки точка , то коефіцієнт в рівнянні (3) може приймати будь-які значення, тобто рівняння (3) буде рівнянням будь-якої прямої, що проходить через точку (за винятком прямої , паралельної осі ). Тому рівняння (3) при будь-яких називається рівнянням пучка прямих, що проходять через точку .

Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих

Дві прямі і паралельні в тому і тільки тому випадку, коли утворюють рівні кути і з віссю . Тоді, або .

Дві прямі перпендикулярні в тому і тільки тому випадку, коли кут між ними дорівнює . Тоді, скориставшись формулою будемо мати:

Тобто зі сказаного вище випливає, що для того щоб дві прямі були паралельні, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були рівні. А для того щоб дві прямі були перпендикулярні, необхідно і достатньо, щоб їх кутові коефіцієнти були оберненими числами, з протилежними знаками.