Метод Крамера: Розв’язання Системи Лінійних Рівнянь

Завдання розв’язання систем лінійних рівнянь є одним з найпоширеніших в області математики та досить важливим в різних областях науки та техніки. Для розв’язання систем лінійних рівнянь можна використовувати різні методи, і одним з них є метод Крамера (також відомий як правило Крамера або метод визначників).

У цій статті ми розглянемо, як за допомогою методу Крамера можна розв’язати системи лінійних рівнянь та які обмеження має цей метод.

Метод Крамера: Визначення та Основні Принципи Дії

Правило Крамера є одним з методів розв’язання систем лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами. За допомогою методу Крамера можна знайти розв’язок системи n лінійних рівнянь з n невідомими (де n – ціле число), якщо визначник матриці коефіцієнтів не дорівнює нулю.

Спосіб розв’язання системи лінійних рівнянь, що використовується у цьому випадку, базується на використанні визначника матриці коефіцієнтів та допоміжних визначників, які отримуються заміною відповідних стовпців на стовпці вільних членів.

Алгоритм Методу Крамера: Пояснення Послідовності Дій для Розв’язання Системи Лінійних Рівнянь

Алгоритм розв’язання системи лінійних рівнянь за методом Крамера можна описати наступним чином:

  1. Записуємо систему лінійних рівнянь у вигляді A·x=b, де A – матриця коефіцієнтів, x – вектор невідомих, b – вектор вільних членів.
  2. Обчислюємо визначник матриці коефіцієнтів системи A.
  3. Для кожної змінної xi обчислюємо допоміжний визначники, замінивши стовпець i вектором вільних членів b.
  4. Розв’язок системи лінійних рівнянь отримуємо за формулою xi=Δi/Δ, де Δi – допоміжний визначник для змінної xi, а Δ – визначник матриці коефіцієнтів.

Оцінка Ефективності Методу Крамера: Переваги та Недоліки

Хоча вирішення систем лінійних рівнянь за допомогою даного методу є простим та ефективним, воно супроводжується як перевагами, так і недоліками, які слід враховувати при використанні цього підходу для вирішення відповідних завдань.

Переваги методу Крамера

  1. Простота використання: Один з найпростіших методів розв’язання систем лінійних рівнянь. Його може використовувати будь-хто, хто знайомий з базовими математичними операціями.
  2. Визначеність розв’язку: Гарантує, що система має один і тільки один розв’язок, якщо визначник системи не дорівнює нулю.
  3. Можливість знаходження кожної невідомої окремо: Дозволяє знаходити значення кожної невідомої окремо, що може бути зручно при виконанні певних обчислень.

Недоліки методу Крамера

  1. Обчислювальна складність: Обчислювальна складність методу Крамера зростає зі збільшенням розміру системи лінійних рівнянь. Це може стати проблемою для великих систем, оскільки обчислювальні затрати можуть стати значними.
  2. Необхідність обчислення великої кількості визначників: Потребує обчислення великої кількості визначників, що може бути затратним в часі та обчислювальних ресурсах.
  3. Нестабільність методу: Може бути нестабільним для певних систем лінійних рівнянь, особливо для тих, які мають дуже близькі визначники.

Метод Крамера: Розв’язання Систем Лінійних Рівнянь Різних Розмірностей

Для систем рівнянь різного розміру існують спеціальні формули, що називаються формулами Крамера. Ці формули дозволяють обчислити кожен невідомий елемент системи, використовуючи визначник матриці системи та допоміжні визначники.

Формули Крамера можуть бути використані для розв’язання систем рівнянь будь-якого розміру, але для практичних цілей зазвичай використовуються формули для систем розмірності 2x2, 3x3 та 4x4.

Формули Крамера для системи 2×2

Для системи двох лінійних рівнянь з двома невідомими формули Крамера виглядають наступним чином:

метод крамера формула

де x1 та x1 – невідомі елементи системи, Δ – визначник матриці системи, Δ1 та Δ2 – визначники матриць A1 та A2 відповідно, A1 та A2 – матриці, отримані з матриці системи заміною відповідного стовпця на вектор правих частин системи.

Система лінійних рівнянь, в даному випадку, має вигляд:

Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими

Головний визначник Δ та допоміжні визначники Δ1 та Δ2 обчислюються за формулами:

метод крамера формула

Формули Крамера для системи 3×3

Для системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими формули Крамера виглядають наступним чином:

метод крамера формула

де x1x2 та x3 – невідомі елементи системи, Δ – визначник матриці системи, Δ1, Δ2 та Δ3 – визначники матриць A1Aта A3 відповідно, A1Aта A3 – матриці, отримані з матриці системи заміною відповідного стовпця на вектор правих частин системи.

Система лінійних рівнянь має вигляд:

Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Головний визначник Δ та допоміжні визначники Δ1, Δ2 та Δ3 обчислюються за формулами:

метод крамера формула

Формули Крамера для системи 4×4

Для системи чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими формули Крамера виглядають наступним чином:

метод крамера формула

де x1x2, x3 та x4 – невідомі елементи системи, Δ – визначник матриці системи, Δ1, Δ2, Δта Δ4 – визначники матриць A1A2 , A3 та A4 відповідно, A1A2 , A3 та A4 – матриці, отримані з матриці системи заміною відповідного стовпця на вектор правих частин системи.

Система лінійних рівнянь має вигляд:

Система чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими

Головний визначник Δ та допоміжні визначники Δ1, Δ2, Δта Δ4 обчислюються за формулами:

метод крамера формула

Практичні Завдання та Розв’язання: Метод Крамера

Приклад 1: Що таке метод визначників і як він використовується для розв’язання систем лінійних рівнянь?

Метод визначників – це чисельний метод розв’язування систем лінійних рівнянь. Цей метод використовується для знаходження значень невідомих змінних шляхом обчислення визначників матриць, які утворені з коефіцієнтів системи рівнянь.

Для застосування методу, кількість рівнянь має бути рівною кількості змінних, і визначник матриці коефіцієнтів системи рівнянь не повинен бути нульовим.

Приклад 2: Чи корисне правило Крамера для рішення систем лінійних рівнянь, у яких існує нескінченна множина розв’язків?

Коротка відповідь на це питання – ні, оскільки техніка Крамера не застосовується, коли система лінійних рівнянь має безліч рішень.

Давайте розберемося чому. Система лінійних рівнянь може мати нескінченну кількість розв’язків двома способами. По-перше, змінних може бути більше, ніж рівнянь. В цьому випадку правило Крамера не застосовується, тому що нам потрібно, щоб матриця коефіцієнтів була квадратною. По-друге, якщо визначник матриці коефіцієнтів дорівнює нулю, то система може мати безліч рішень або не мати їх взагалі.

Однак, як видно з формул, ми допоміжні визначники ділимо на визначник матриці коефіцієнтів. Ми не можемо цього зробити, якщо він дорівнює нулю. Отже, правило Крамера в даному випадку не застосовується.

Таким чином, можна зробити висновок, що спосіб Крамера не буде корисним для знаходження розв’язку систем лінійних рівнянь, в яких існує безліч рішень.

Приклад 3: Яка головна відмінність методу Крамера від інших методів розв’язання систем лінійних рівнянь?

Головна відмінність методу Крамера від інших методів розв’язання систем лінійних рівнянь полягає в тому, що він представляє собою зручний спосіб знаходження тільки однієї з невідомих без необхідності розв’язувати всю систему рівнянь.

Зазвичай, на практиці, його не застосовується таким чином, але передбачається, що в цьому полягає основна суть методу: замість розв’язування всієї системи рівнянь, метод можна використовувати для знаходження тільки однієї єдиної невідомої.

Приклад 4: Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера

система лінійних рівнянь з 2-ма невідомими

Отже, на першому кроці, знаходимо визначник системи:

Δ=2

Виходячи з того, що знайдений визначник відмінний від нуля, то задана системи є сумісною, тобто має єдиний розв’язок. Переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Δ1=10; Δ2=4

Далі, за формулами Крамера знаходимо рішення системи:

розв'язування слар методом Крамера, слар методом Крамера, слар метод Крамера

Зауваження: для перевірки розв’язків систем рівнянь розмірність яких не перевищує три можна скористатись delphi-програмою, що реалізує алгоритм Крамера. Зовнішній вигляд її головної форми представлений на малюнку що міститься нижче.

розв'язування систем лінійних рівнянь методом Крамера, слар методом Крамера, слар метод Крамера

Приклад 5: Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь наступного вигляду

системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Для цього, знову-таки, для початку, знайдемо головний визначник системи:

Δ=-37

Визначник Δ≠0, отже, ми можемо розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера. Переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Δ1=-53; Δ2=-91; Δ3=66

Після цього, використовуючи формули Крамера для системи 3×3 знаходимо розв’язок заданої системи:

розв'язування слар методом Крамера, слар методом Крамера, слар метод Крамера

Приклад 6: Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера

системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Знаходимо головний визначник системи:

Δ=0

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або має безліч розв’язків, або не має їх. Для уточнення, обчислюємо визначники при невідомих:

Δ1=168; Δ2=84; Δ3=-84

Визначники при невідомих відмінні від нулю, отже, система несумісна, тобто розв’язків не має.

Приклад 7: При якому значенні параметра a система лінійних рівнянь, що міститься нижче, має безліч розв’язків?

системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Отже, виходячи з того, що

Δ3=0

то дана система має безліч розв’язків при наступних умовах:

Δ=0; Δ1=0; Δ2=0

Звідси, -6·a+6=0 ⇒ a=1; 6·a-6=0 ⇒ a=1; -12·a+12=0 a=1. Отже, при a=1, система лінійних рівнянь має безліч розв’язків.

Приклад 8: Для системи лінійних рівнянь, що міститься нижче, знайти значення невідомої x3.

системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Отже, відповідно до методу Крамера маємо:

Δ=4; Δ3=2

Далі, за формулами Крамера, знаходимо значення невідомої змінної:

розв'язування СЛАР методом Крамера, слар методом Крамера, слар метод Крамера

Дивіться Також

Окрім способу Крамера, існує безліч інших методів розв’язання систем лінійних рівнянь. Кожен з них має свої особливості та застосовується в залежності від конкретної задачі. Нижче наведено список деяких методів, які можуть бути корисними для вивчення:

  1. Метод Гауса для розв’язання систем лінійних рівнянь: Дізнайтеся, як метод Гауса допомагає ефективно розв’язувати системи лінійних рівнянь, використовуючи елементарні операції над рядками.
  2. Основна ідея розв’язання систем рівнянь методом Жордана-Гауса: Вивчіть метод Жордана-Гауса, що об’єднує переваги методів Гауса та Жордана для більш ефективного розв’язання систем лінійних рівнянь.
  3. Розв’язання систем лінійних рівнянь використовуючи метод простої ітерації: Поглибіть своє розуміння числових методів, досліджуючи метод простої ітерації для розв’язання систем лінійних рівнянь та його практичні застосування.

Метод Крамера в Алгоритмічному Виконанні: Блок-схема для Розв’язання Систем Рівнянь

розв'язування слар методом Крамера блок-схема

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*