Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) – це метод розв’язування систем лінійних рівнянь. Він застосовується тільки до систем, у яких число рівнянь збігається з числом невідомих і визначник яких відмінний від нуля. Будь-яка «крамерівська» система рівнянь має єдиний розв’язок.

Отже, нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) виду:

Система лінійних рівнянь

де коефіцієнти a11, a12, a13,..., a1n,..., ann і b1, b2, b3,..., bn є заданими, а вектор {x1, x2, x3,..., xn} – називається розв’язком цієї системи.

Як уже зазначалося вище, якщо визначник системи (1) не дорівнює нулю (|a| <> 0), то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:

Формули Крамера для розв'язування систем лінійних рівнянь

де  – допоміжні визначники, які одержуються з основного визначника  шляхом заміни його i-го стовпця, стовпцем вільних членів системи.

Отже:

  1. якщо , то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами (2);
  2. якщо , то система (1) має безліч розв’язків (), або вона є несумісною, тобто розв’язків не має ().

Складемо алгоритм розв’язку системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими за методом Крамера:

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

  1. Для даної системи складаємо та обчислюємо визначник:

    СЛАР методом Крамера

  2. Аналогічним чином обчислюємо допомміжні визначники:

    СЛАР методом Крамера

  3. Використовуючи формули Крамера (2), знаходимо рішення системи (3):

    Формули Крамера для розв'язування систем лінійних рівнянь

Зауваження: метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих системи n <= 3. Даний метод можна застосовувати і для великих значень n, але він потребує більшої кількості розрахунків. У випадку, коли n > 3, зазвичай, використовується метод Гаусса, основна ідея якого полягає у приведенні матриці коефіцієнтів до трикутної форми.

Приклад 1: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Система лінійних рівнянь з 2-ма невідомими

Отже, на першому кроці, знаходимо визначник системи:

Δ = 2

Виходячи з того, що знайдений визначник відмінний від нуля, то задана системи є сумісною, тобто має єдиний розв’язок.

Переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Δ1 = 10; Δ2 = 4

Далі, за формулами Крамера знаходимо рішення системи:

Розв'язування СЛАР методом Крамера, СЛАР методом Крамера, СЛАР метод Крамера

Зазначимо, що для перевірки розв’язків систем рівнянь розмірність яких не перевищує три можна скористатись delphi-програмою, що реалізує метод Крамера.

Зовнішній вигляд її головної форми представлений на наступному малюнку:

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Крамера, СЛАР методом Крамера, СЛАР метод Крамера

Як видно з рисунка, крім текстових міток (компоненти типу TLabel), вона містить:

  • редактор введення цілих чисел (компонент типу TSpinEdit – відповідає за кількість рівнянь та невідомих системи, рішення якої відшукується);
  • таблиці типу TStringGrid (призначені для введення коефіцієнтів при невідомих сисетми та значень стовпця вільних членів);
  • кнопки типу TButton (призначені для розв’язування системи лінійних рівнянь та підготовки delphi-проекту до нового прикладу);
  • область виведення багаторядкового тексту (компонент типу TMemo – призначений для представлення розв’язку системи).

Розглянемо роботу програми на прикладі розв’язування системи лінійних рівнянь з першого прикладу.

Отже, запустивши delphi-програму, на першому кроці, переходимо до редактора «Кількість невідомих системи» і, за допомогою кнопок що знаходяться в його правій частині, вказуємо розмірність системи.

Після цього, способом введення з клавіатури, кожну з таблиць типу TStringGrid заповнюємо значеннями коефіцієнтів при невідомих системи та значеннями елементів стовпця вільних членів відповідно.

В результаті, головна форма програми прийме натступного вигляду:

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Крамера, СЛАР методом Крамера, СЛАР метод Крамера

Зауваження: для зміни в СЛАР знаків з «+» на «-» в комірках таблиць TStringGrid вводяться від’ємні числа. Якщо у прикладі що розглядається відсутній якийсь коефіцієнт, то на його місці в калькуляторі вводиться нуль. Також зазначимо, що вводити можна як цілі числа так і числа з плаваючою комою.

Далі, скориставшись кнопкою «Розв’язати систему рівнянь», знаходимо шукане рішення (виводиться в нижній частині форми).

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Крамера, СЛАР методом Крамера, СЛАР метод Крамера

Приклад 2: розв’язати ситему лінійниз алгебраїчних рівнянь наступного вигляду:

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Для цього, знову-таки, для початку, знайдемо головний визначник системи:

Δ = -37

Визначник , отже, ми можемо розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера.

Переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Δ1 = -53; Δ2 = -91; Δ3 = 66

Пісял цього, використовуючи формули (2) знаходимо розв’язок заданої системи:

Розв'язування СЛАР методом Крамера, СЛАР методом Крамера, СЛАР метод Крамера

Приклад 3: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Знаходимо головний визначник системи:

Δ = 0

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або має безліч розв’язків, або не має їх. Для уточнення, обчислюємо визначники при невідомих:

Δ1 = 168; Δ2 = 84; Δ3 = -84

Визначники при невідомих відмінні від нулю, отже, система несумісна, тобто не має розв’язків.

Приклад 4: при якому значенні параметра a система лінійних рівнянь, що міститься нижче, має безліч розв’язків?

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Отже, виходячи з того, що

Δ3 = 0

то дана система має безліч розв’язків при наступних умовах:

Δ = 0; Δ1 = 0; Δ2 = 0;

Звідси

-6 * a + 6 = 0, a = 1; 6 * a - 6 = 0, a = 1; -12 * a + 12 = 0, a = 1

Отже, при a = 1, система має безліч розв’язків.

Зауваження: переглянувши розглянуті приклади бачимо, що правило Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь, представляє собою зручний спосіб знаходження тільки однієї з невідомих без необхідності розв’язувати всю систему рівнянь. Зазвичай, на практиці, метод Крамера не застосовується таким чином, але передбачається, що в цьому полягає основна суть методу: замість розв’язування всієї системи рівнянь, метод Крамера можна використовувати для знаходження тільки однієї єдиної невідомої.

Приклад 5: для системи лінійних рівнянь, що міститься нижче, знайти значення невідомої x3.

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Отже, відповідно до методу Крамера маємо:

Δ = 4; Δ3 = 2

Далі, за формулами Крамера, знаходимо значення невідомої змінної:

Розв'язування СЛАР методом Крамера, СЛАР методом Крамера, СЛАР метод Крамера

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку СЛАР методом Крамера.

Розв'язування СЛАР методом Крамера блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*