Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) – це метод розв’язування систем лінійних рівнянь. Він застосовується тільки до систем, у яких число рівнянь збігається з числом невідомих і визначник яких відмінний від нуля. Будь-яка «крамерівська» система рівнянь має єдиний розв’язок.

Формули Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь.

Отже, нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) виду:

де коефіцієнти  і  є заданими, а вектор  – називається розв’язком цієї системи.

Як уже зазначалося вище, якщо визначник системи (1) не дорівнює нулю (), то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:

де  – допоміжні визначники, які одержуються з основного визначника  шляхом заміни його -го стовпця, стовпцем вільних членів системи.

Отже:

1. якщо , то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами (2);
2. якщо , то система (1) має безліч розв’язків (), або вона є несумісною, тобто розв’язків не має ().

Складемо алгоритм розв’язку системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими за методом Крамера:

1. Для даної системи складаємо та обчислюємо визначник:

   

2. Аналогічним чином обчислюємо допомміжні визначники:

   

3. Використовуючи формули Крамера (2), знаходимо рішення системи (3):

   

Зауваження: метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих системи . Даний метод можна застосовувати і для великих значень , але він потребує більшої кількості розрахунків. У випадку, коли , зазвичай, використовується метод Гаусса, основна ідея якого полягає у приведенні матриці коефіцієнтів до трикутної форми.

Розв’язування СЛАР методом Крамера – приклади.

Приклад 1: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Отже, на першому кроці, знаходимо визначник системи:

Виходячи з того, що знайдений визначник відмінний від нуля, то задана системи є сумісною, тобто має єдиний розв’язок.

Переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Далі, за формулами Крамера знаходимо рішення системи:

Зазначимо, що для перевірки розв’язків систем рівнянь розмірність яких не перевищує три можна скористатись delphi-програмою, що реалізує метод Крамера.

Зовнішній вигляд її головної форми представлений на наступному малюнку:

Як видно з рисунка, крім текстових міток (компоненти типу TLabel), вона містить:

• редактор введення цілих чисел (компонент типу TSpinEdit – відповідає за кількість рівнянь та невідомих системи, рішення якої відшукується);
• таблиці типу TStringGrid (призначені для введення коефіцієнтів при невідомих сисетми та значень стовпця вільних членів);
• кнопки типу TButton (призначені для розв’язування системи лінійних рівнянь та підготовки delphi-проекту до нового прикладу);
• область виведення багаторядкового тексту (компонент типу TMemo – призначений для представлення розв’язку системи).

Розглянемо роботу програми на прикладі розв’язування системи лінійних рівнянь з першого прикладу.

Отже, запустивши delphi-програму, на першому кроці, переходимо до редактора «Кількість невідомих системи» і, за допомогою кнопок що знаходяться в його правій частині, вказуємо розмірність системи.

Після цього, способом введення з клавіатури, кожну з таблиць типу TStringGrid заповнюємо значеннями коефіцієнтів при невідомих системи та значеннями елементів стовпця вільних членів відповідно.

В результаті, головна форма програми прийме натступного вигляду:

Зауваження: для зміни в СЛАР знаків з «+» на «-» в комірках таблиць TStringGrid вводяться від’ємні числа. Якщо у прикладі що розглядається відсутній якийсь коефіцієнт, то на його місці в калькуляторі вводиться нуль. Також зазначимо, що вводити можна як цілі числа так і числа з плаваючою комою.

Далі, скориставшись кнопкою «Розв’язати систему рівнянь», знаходимо шукане рішення (виводиться в нижній частині форми).

Приклад 2: розв’язати ситему лінійниз алгебраїчних рівнянь наступного вигляду:

Для цього, знову-таки, для початку, знайдемо головний визначник системи:

Визначник , отже, ми можемо розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера.

Переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Пісял цього, використовуючи формули (2) знаходимо розв’язок заданої системи:

Приклад 3: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Знаходимо головний визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або має безліч розв’язків, або не має їх. Для уточнення, обчислюємо визначники при невідомих:

Визначники при невідомих відмінні від нулю, отже, система несумісна, тобто не має розв’язків.

Приклад 4: при якому значенні параметра  система лінійних рівнянь, що міститься нижче, має безліч розв’язків?

Отже, виходячи з того, що

то дана система має безліч розв’язків при наступних умовах:

Звідси

Отже, при , система має безліч розв’язків.

Зауваження: переглянувши розглянуті приклади бачимо, що правило Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь, представляє собою зручний спосіб знаходження тільки однієї з невідомих без необхідності розв’язувати всю систему рівнянь. Зазвичай, на практиці, метод Крамера не застосовується таким чином, але передбачається, що в цьому полягає основна суть методу: замість розв’язування всієї системи рівнянь, метод Крамера можна використовувати для знаходження тільки однієї єдиної невідомої.

Приклад 5: для системи лінійних рівнянь, що міститься нижче, знайти значення невідомої .

Отже, відповідно до методу Крамера маємо:

Далі, за формулами Крамера, знаходимо значення невідомої змінної:

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку СЛАР методом Крамера.

Ми в соціальних мережах

• 
• 
• 
•