Навігація по сторінці.
Метод Крамера (правило Крамера) – це метод розв’язування систем лінійних рівнянь. Він застосовується тільки до систем, у яких число рівнянь збігається з числом невідомих і визначник яких відмінний від нуля. Будь-яка «крамерівська» система рівнянь має єдиний розв’язок.
Формули Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь.
Отже, нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) виду:
де коефіцієнти і
є заданими, а вектор
– називається розв’язком цієї системи.
Як уже зазначалося вище, якщо визначник системи (1) не дорівнює нулю (), то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:
де – допоміжні визначники, які одержуються з основного визначника
шляхом заміни його
-го стовпця, стовпцем вільних членів системи.
Отже:
- якщо
, то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами (2);
- якщо
, то система (1) має безліч розв’язків (
), або вона є несумісною, тобто розв’язків не має (
).
Складемо алгоритм розв’язку системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими за методом Крамера:
- Для даної системи складаємо та обчислюємо визначник:
- Аналогічним чином обчислюємо допомміжні визначники:
- Використовуючи формули Крамера (2), знаходимо рішення системи (3):
Зауваження: метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих системи . Даний метод можна застосовувати і для великих значень
, але він потребує більшої кількості розрахунків. У випадку, коли
, зазвичай, використовується метод Гаусса, основна ідея якого полягає у приведенні матриці коефіцієнтів до трикутної форми.
Розв’язування СЛАР методом Крамера – приклади.
Приклад 1: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Отже, на першому кроці, знаходимо визначник системи:
Виходячи з того, що знайдений визначник відмінний від нуля, то задана системи є сумісною, тобто має єдиний розв’язок.
Переходимо до обчислення допоміжних визначників:
Далі, за формулами Крамера знаходимо рішення системи:
Зазначимо, що для перевірки розв’язків систем рівнянь розмірність яких не перевищує три можна скористатись delphi-програмою, що реалізує метод Крамера.
Зовнішній вигляд її головної форми представлений на наступному малюнку:
Як видно з рисунка, крім текстових міток (компоненти типу TLabel), вона містить:
- редактор введення цілих чисел (компонент типу TSpinEdit – відповідає за кількість рівнянь та невідомих системи, рішення якої відшукується);
- таблиці типу TStringGrid (призначені для введення коефіцієнтів при невідомих сисетми та значень стовпця вільних членів);
- кнопки типу TButton (призначені для розв’язування системи лінійних рівнянь та підготовки delphi-проекту до нового прикладу);
- область виведення багаторядкового тексту (компонент типу TMemo – призначений для представлення розв’язку системи).
Розглянемо роботу програми на прикладі розв’язування системи лінійних рівнянь з першого прикладу.
Отже, запустивши delphi-програму, на першому кроці, переходимо до редактора «Кількість невідомих системи» і, за допомогою кнопок що знаходяться в його правій частині, вказуємо розмірність системи.
Після цього, способом введення з клавіатури, кожну з таблиць типу TStringGrid заповнюємо значеннями коефіцієнтів при невідомих системи та значеннями елементів стовпця вільних членів відповідно.
В результаті, головна форма програми прийме натступного вигляду:
Зауваження: для зміни в СЛАР знаків з «+» на «-» в комірках таблиць TStringGrid вводяться від’ємні числа. Якщо у прикладі що розглядається відсутній якийсь коефіцієнт, то на його місці в калькуляторі вводиться нуль. Також зазначимо, що вводити можна як цілі числа так і числа з плаваючою комою.
Далі, скориставшись кнопкою «Розв’язати систему рівнянь», знаходимо шукане рішення (виводиться в нижній частині форми).
Приклад 2: розв’язати ситему лінійниз алгебраїчних рівнянь наступного вигляду:
Для цього, знову-таки, для початку, знайдемо головний визначник системи:
Визначник , отже, ми можемо розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера.
Переходимо до обчислення допоміжних визначників:
Пісял цього, використовуючи формули (2) знаходимо розв’язок заданої системи:
Приклад 3: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
Знаходимо головний визначник системи:
Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або має безліч розв’язків, або не має їх. Для уточнення, обчислюємо визначники при невідомих:
Визначники при невідомих відмінні від нулю, отже, система несумісна, тобто не має розв’язків.
Приклад 4: при якому значенні параметра система лінійних рівнянь, що міститься нижче, має безліч розв’язків?
Отже, виходячи з того, що
то дана система має безліч розв’язків при наступних умовах:
Звідси
Отже, при , система має безліч розв’язків.
Зауваження: переглянувши розглянуті приклади бачимо, що правило Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь, представляє собою зручний спосіб знаходження тільки однієї з невідомих без необхідності розв’язувати всю систему рівнянь. Зазвичай, на практиці, метод Крамера не застосовується таким чином, але передбачається, що в цьому полягає основна суть методу: замість розв’язування всієї системи рівнянь, метод Крамера можна використовувати для знаходження тільки однієї єдиної невідомої.
Приклад 5: для системи лінійних рівнянь, що міститься нижче, знайти значення невідомої .
Отже, відповідно до методу Крамера маємо:
Далі, за формулами Крамера, знаходимо значення невідомої змінної: