Розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера

Метод Крамера – це метод розв’язування систем лінійних рівнянь. Він застосовується тільки до систем, у яких число рівнянь збігається з числом невідомих і визначник яких відмінний від нуля. Будь-яка «крамерівська» система рівнянь має єдиний розв’язок.

Отже, нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

де коефіцієнти  і  є заданими, а вектор  – називається розв’язком цієї системи.

Як уже зазначалося вище, якщо визначник системи (1) не дорівнює нулю (), то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами:

де  – допоміжні визначники, які одержуються з основного визначника  шляхом заміни його -го стовпця, стовпцем вільних членів системи.

Отже:

1. якщо , то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами (2);
2. якщо , то система (1) має безліч розв’язків (), або вона є несумісною, тобто розв’язків не має ().

Складемо алгоритм розв’язку системи трьох рівнянь з трьома невідомими за методом Крамера:

1. Для даної системи складаємо та обчислюємо визначник:

   

2. Аналогічним чином обчислюємо допомміжні визначники:

   

3. Використовуючи формули Крамера (2), знаходимо розв’язок системи (3):

   

Зауваження: метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих системи . Даний метод можна застосовувати і для великих значень , але він потребує більшої кількості розрахунків. У випадку, коли  доцільно використовувати метод Гаусса, основна ідея якого полягає у приведенні матриці до трикутної форми.

Метод Крамера – приклади:

Приклад 1: розв’язати систему рівнянь методом Крамера:

Отже, на першому кроці, знаходимо визначник системи:

Виходячи з того, що знайдений визначник відмінний від нуля, то задана системи є сумісною, тобто має єдиний розв’язок. Далі, переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Далі, за формулами Крамера знаходимо розв’язок системи:

Зауваження: для перевірки розв’язків систем рівнянь розмірність яких не перевищує три можна скористатись delphi-програмою, яка реалізує методом Крамера:

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера засобами delphi

Приклад 2: розв’язати ситему рівнянь наступного вигляду:

Для цього, знову-таки, для початку, знайдемо головний визначник системи:

Визначник , отже, ми можемо розв’язати задану систему методом Крамера. Отже, переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Пісял цього, використовуючи формули (2) знаходимо розв’язок заданої системи:

Приклад 3: розв’язати систему рівнянь методом Крамера:

Знаходимо головний визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або має безліч розв’язків, або не має їх. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих:

Визначники при невідомих відмінні від нулю, отже, система несумісна, тобто не має розв’язків.

Зауваження: переглянувши розглянуті приклади бачимо, що метод Крамера, для системи лінійних рівнянь, представляє собою зручний спосіб знаходження тільки однієї з невідомих без необхідності розв’язувати всю систему рівнянь. Зазвичай, на практиці, метод Крамера не застосовується таким чином, але передбачається, що в цьому полягає основна суть методу: замість вирішення всієї системи рівнянь, метод Крамера можна використовувати для знаходження тільки однієї єдиної невідомої.

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь методом Крамера