Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса

Метод Гауса (також відомий як метод послідовного виключення невідомих) – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження розв’язку будь-якої системи лінійних алгебраїчни рівнянь (СЛАР).

Як нам відомо, правило Крамера і матричний метод являються неефективними у випадках, коли система має нескінченно багато рішень або є несумісною. Метод послідовного виключення невідомих у будь-якому разі приведе до відповіді.

Процес розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса складається з двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система рівнянь, за допомогою елементарних перетворень, зводиться до рівносильної їй системи трикутної форми.

Система лінійних рівнянь метод Гауса, розв'язування СЛАР методом Гауса, метод Гауса розв'язування СЛАР

На другому етапі (обернений хід), з отриманої «ступінчастої» системи, виконується послідовне знаходження значень невідомих величин.

Розглянемо кожен з цих етапів більш детально.

Отже, нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Система лінійних рівнянь

Припустимо, що коефіцієнт a11 ≠ 0 (ведучий елемент).  Цього, завжди, можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на a11 отримаємо:

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса - прямий хід

де c1j = a1j / a11 (j > 1); d1 = b1 / a11.

Користуючись рівнянням (2), легко виключити з 2, 3, 4, ..., n рівняння системи (1) невідому x1. Для цього достатньо від другого рівняння системи (1) відняти рівняння (2), помножене на a21; від третього рівняння системи (1) , відняти рівняння (2), помножене на a31, і так далі.

Таким чином, отримаємо систему трикутної форми:

Розв'язування систем лінійних рівнянь методом Гауса - прямий хід

Зауваження: якщо елементи будь-якого рядка матриці системи в результаті перетворень стали рівними нулю, а права частина не дорівнює нулю то система лінійних рівнянь несумісна; якщо елементи будь-якого рядка матриці системи та права частина в результаті перетворень стали рівними нулю, то система рівнянь сумісна, але має безліч рішень – обчислюються за допомогою методу Гауса для системи порядку r, де rранг матриці вихідної системи лінійних рівнянь.

Як уже зазначалося вище, етап номер два полягає у знаходженні значень невідомих із системи, яку отримали на попередньому етапі. Його називають оберненим ходом, тому що, спочатку, з останнього рівняння, знаходять xn:

Система лінійних рівнянь методом Гауса - обернений хід

На наступному кроці, величина xn підставляється у (n - 1)-ше рівняння системи (3), і, таким чином, знаходиться значення невідомої xn-1:

Система лінійних рівнянь методом Гауса - обернений хід
Далі, підставивши xn та xn-1 в (n - 2)-ге рівняння системи (3) – знаходимо xn-2. Продовжуючи даний процес далі, отримаємо розв’язок системи рівнянь (1).

Очевидно, що даний процес визначений однією формулою:

Система лінійних рівнянь методом Гауса - обернений хід

Приклад 1: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

Система чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими

Отже, виходячи з того, що елемент a11 дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому x1, достатньо від цих рівнянь відняти перше помножене на a21 = 3 та a31 = 5 відповідно. В результаті матимемо:

Метод Гауса розв'язування систем лінійних рівнянь - прямий хід

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої x2 з третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, коефіцієнти другого рівняння поділимо на a22 = -14, після чого, від третього рівняння віднімаємо друге помножене на a32 = -32 і від четвертого – друге помножене на a42 = 3.

Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Метод Гауса розв'язування систем лінійних рівнянь - прямий хід

Далі, переходимо до виключення невідомої x3 з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рівняння ділимо на a33 = 10.1 і від елементів четвертого рівняння віднімаємо елементи третього, помножені на a43 = -7.3:

Метод Гауса розв'язування систем лінійних рівнянь - прямий хід

На останньому кроці, коефіцієнти четвертого рівняння розділимо на a44 = 4.4:

Метод Гауса розв'язування систем лінійних рівнянь - прямий хід

Отже, система приведена до «ступінчастого» вигляду. Перейшовши до етапу номер два (обернений хід), виконаємо послідовне знаходження значень невідомих величин.

З останнього рівняння маємо, що x4 = -1. Підставляючи це значення в третє рівняння системи матимемо: x3 = 1 . Продовжуючи далі такзвану «зворотню підстановку», отримаємо: x2 = 2x1 = 3.

Таким чином, рішенням заданої системи рівнянь є наступні значення:

Система лінійних рівнянь метод Гауса - обернений хід
Зазначимо, що розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса, на сайті, можна за допомогою відповідного онлайн-калькулятора. Зокрема, для розглянутого вищу прикладу, матимемо наступні результати:

Система лінійних рівнянь метод Гауса, розв'язування СЛАР методом Гауса, метод Гауса розв'язування СЛАР

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку СЛАР методом Гауса

Система лінійних рівнянь метод Гауса, розв'язування СЛАР методом Гауса, метод Гауса розв'язування СЛАР

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*