Навігація по сторінці.
Метод Гауса (також відомий як метод послідовного виключення невідомих) – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження розв’язку будь-якої системи лінійних алгебраїчни рівнянь (СЛАР).
Як нам відомо, правило Крамера і матричний метод являються неефективними у випадках, коли система має нескінченно багато рішень або є несумісною. Метод послідовного виключення невідомих у будь-якому разі приведе до відповіді.
Алгоритм розв’язування СЛАР методом Гауса.
Процес розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса складається з двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система рівнянь, за допомогою елементарних перетворень, зводиться до рівносильної їй системи трикутної форми.
На другому етапі (обернений хід), з отриманої «ступінчастої» системи, виконується послідовне знаходження значень невідомих величин.
Розглянемо кожен з цих етапів більш детально.
Отже, нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:
Припустимо, що коефіцієнт 
(ведучий елемент). Цього, завжди, можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на 
отримаємо:
де 
.
Користуючись рівнянням (2), легко виключити з 
рівняння системи (1) невідому 
. Для цього достатньо від другого рівняння системи (1) відняти рівняння (2), помножене на 
; від третього рівняння системи (1) , відняти рівняння (2), помножене на 
, і так далі.
Таким чином, отримаємо систему трикутної форми:
Зауваження: якщо елементи будь-якого рядка матриці системи в результаті перетворень стали рівними нулю, а права частина не дорівнює нулю то система лінійних рівнянь несумісна; якщо елементи будь-якого рядка матриці системи та права частина в результаті перетворень стали рівними нулю, то система рівнянь сумісна, але має безліч рішень – обчислюються за допомогою методу Гауса для системи порядку 
, де – ранг матриці вихідної системи лінійних рівнянь.
Як уже зазначалося вище, етап номер два полягає у знаходженні значень невідомих із системи, яку отримали на попередньому етапі. Його називають оберненим ходом, тому що, спочатку, з останнього рівняння, знаходять 
:
На наступному кроці, величина підставляється у 
-ше рівняння системи (3), і, таким чином, знаходиться значення невідомої 
:
Далі, підставивши та в 
-ге рівняння системи (3) – знаходимо 
. Продовжуючи даний процес далі, отримаємо розв’язок системи рівнянь (1).
Очевидно, що даний процес визначений однією формулою:
Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса – приклади.
Приклад 1: розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:
Отже, виходячи з того, що елемент дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому , достатньо від цих рівнянь відняти перше помножене на 
та 
відповідно. В результаті матимемо:
На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої 
з третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, коефіцієнти другого рівняння поділимо на 
, після чого, від третього рівняння віднімаємо друге помножене на 
і від четвертого – друге помножене на 
.
Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:
Далі, переходимо до виключення невідомої 
з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рівняння ділимо на 
і від елементів четвертого рівняння віднімаємо елементи третього, помножені на 
:
На останньому кроці, коефіцієнти четвертого рівняння розділимо на 
:
Отже, система приведена до «ступінчастого» вигляду. Перейшовши до етапу номер два (обернений хід), виконаємо послідовне знаходження значень невідомих величин.
З останнього рівняння маємо, що 
. Підставляючи це значення в третє рівняння системи матимемо: 
. Продовжуючи далі такзвану «зворотню підстановку», отримаємо: 
, 
.
Таким чином, рішенням заданої системи рівнянь є наступні значення:
Зазначимо, що розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гауса, на сайті, можна за допомогою відповідного онлайн-калькулятора. Зокрема, для розглянутого вищу прикладу, матимемо наступні результати:
Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку СЛАР методом Гауса
