Розв'язок системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь за методом Гаусса (метод послідовного виключення змінних) знаходиться в два етапи. На першому етапі вихідну систему рівнянь зводять до рівносильної їй системи трикутної форми – прямий хід методу Гаусса. На другому етапі, використовуючи систему трикутної форми, знаходимо значення невідомих величин (обернений хід методу Гаусса).

Прямий хід: нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Нехай (ведучий елемент), цього можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на отримаємо:

де .

Користуючись рівнянням (2), легко виключити із другого рівняння системи (1) невідому . Для цього достатньо від другого рівняння системи (1) відняти рівняння (2), помножене на ; від третього рівняння системи (1), відняти рівняння (2), помножене на , і так далі.

Таким чином, ми отримуємо систему трикутної форми, яка має вигляд:

Метод Гаусса обернений хід: даний етап полягає у знаходженні значень невідомих із системи, яку ми отримали на попередньому кроці. Його називають оберненим ходом тому, що спочатку з останнього рівняння знаходимо :

Потім, підставляємо цю величину у -ше рівняння – знаходимо :

Далі підставляючи і в -ге рівняння системи (3) – знаходимо . Продовжуючи даний процес далі, знайдемо шуканий розв’язок системи рівнянь (1). Очевидно, що даний процес визначений однією формулою:

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод Гаусcа – приклад:

Використовуючи методом Гаусса, розв’язати систему рівнянь наступного вигляду:

Прямий хід методу Гаусса: виходячи з того, що елемент дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого, третього і четвертого рівнянь системи невідому , достатньо від цих рівнянь відняти перше помножене на відповідно. В результаті отримаємо:

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої з третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, коефіцієнти другого рівняння поділимо на , після чого, від третього рівняння віднімаємо друге помножене на і від четвертого – друге помножене на . Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Далі, переходимо до виключення невідомої з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рівняння ділимо на і від елементів четвертого рівняння віднімаємо елементи третього, помножені на :

На останньому кроці, коефіцієнти четвертого рівняння розділимо на :

Обернений хід: з останнього рівняння системи отриманої після виконання прямого ходу, знаходимо значення невідомої . Підставляючи це значення в третє рівняння знаходимо . Продовжуючи далі такзвану «зворотню підстановку», отримаємо . Таким чином розв’язком заданої системи рівнянь є наступні значення: .