Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Гаусса

Метод Гаусса (також відомий як метод послідовного виключення невідомих) – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження розв’язку будь-якої системи лінійних рівнянь.

Як нам відомо, правило Крамера і матричний метод являються неефективними у випадках, коли система має нескінченно багато рішень або є несумісною. Метод послідовного виключення невідомих у будь-якому разі приведе до відповіді.

Метод Гаусса – опис алгоритму.

Процес розв’язку системи лінійних рівнянь методом Гаусса складається з двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система рівнянь, за допомогою елементарних перетворень, зводиться до рівносильної їй системи трикутної форми.

Графічне представлення прямого ходу алгоритму Гаусса

На другому етапі (обернений хід), з отриманої «ступінчастої» системи, виконується послідовне знаходження значень невідомих величин.

Розглянемо кожен з цих етапів більш детально.

Отже, нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Припустимо, що коефіцієнт  (ведучий елемент).  Цього, завжди, можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на  отримаємо:

де .

Користуючись рівнянням (2), легко виключити з  рівняння системи (1) невідому . Для цього достатньо від другого рівняння системи (1) відняти рівняння (2), помножене на ; від третього рівняння системи (1) , відняти рівняння (2), помножене на , і так далі.

Таким чином, отримаємо систему трикутної форми:

Зауваження: якщо елементи будь-якого рядка матриці системи в результаті перетворень стали рівними нулю, а права частина не дорівнює нулю то система лінійних рівнянь несумісна; якщо елементи будь-якого рядка матриці системи та права частина в результаті перетворень стали рівними нулю, то система рівнянь сумісна, але має безліч рішень – обчислюються за допомогою методу Гаусса для системи порядку , де – ранг матриці вихідної системи лінійних рівнянь.

Як уже зазначалося вище, етап номер два полягає у знаходженні значень невідомих із системи, яку отримали на попередньому етапі. Його називають оберненим ходом, тому що, спочатку, з останнього рівняння, знаходять :

На наступному кроці, величина  підставляється у -ше рівняння системи (3), і, таким чином, знаходиться значення невідомої :

Далі, підставивши  та  в -ге рівняння системи (3) – знаходимо . Продовжуючи даний процес далі, отримаємо розв’язок системи рівнянь (1).

Очевидно, що даний процес визначений однією формулою:

Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Гауcса – приклади.

Приклад 1: розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

Отже, виходячи з того, що елемент  дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому , достатньо від цих рівнянь відняти перше помножене на  та  відповідно. В результаті матимемо:

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої  з третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, коефіцієнти другого рівняння поділимо на , після чого, від третього рівняння віднімаємо друге помножене на  і від четвертого – друге помножене на .

Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Далі, переходимо до виключення невідомої  з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рівняння ділимо на  і від елементів четвертого рівняння віднімаємо елементи третього, помножені на :

На останньому кроці, коефіцієнти четвертого рівняння розділимо на :

Отже, система приведена до «ступінчастого» вигляду. Перейшовши до етапу номер два (обернений хід), виконаємо послідовне знаходження значень невідомих величин.

З останнього рівняння маємо, що . Підставляючи це значення в третє рівняння системи матимемо:  . Продовжуючи далі такзвану «зворотню підстановку», отримаємо: , .

Таким чином розв’язком системи рівнянь є наступні значення:

Запитання для самоперевірки на тему метод Гаусса.

1. Що називається рішенням системи лінійних алгебраїчних рівнянь?
2. Метод Гаусса є точним чи наближеним методом?
3. Назвіть схему розв’язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса.
4. Чи будь-яку систему лінійних рівнянь можна розв’язати методом Гаусса?
5. Чим метод Гаусса відрізняється від методу Жордана-Гаусса?
6. Що таке елементарні перетворення матриці?
7. До якого виду може бути приведена система лінійних алгебраїчних рівнянь в результаті її розв’язку методом Гаусса?
8. Що потрібно виконати для перевірки знайденого рішення?

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь методом Гауcса