Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Гаусса

Метод Гаусса (також відомий як метод послідовного виключення невідомих) – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження розв’язку будь-якої системи лінійних рівнянь.

Як нам відомо, правило Крамера і матричний метод являються неефективними у випадках, коли система має нескінченно багато рішень або є несумісною. Метод послідовного виключення невідомих у будь-якому разі приведе до відповіді.

Процес розв’язку системи лінійних рівнянь методом Гаусса складається з двох етапів. На першому етапі (прямий хід) система рівнянь, за допомогою елементарних перетворень, зводиться до рівносильної їй системи трикутної форми.

Метод Гаусса - прямий хід алгоритму

Графічне представлення прямого ходу алгоритму Гаусса

На другому етапі (обернений хід), з отриманої «ступінчастої» системи, виконується послідовне знаходження значень невідомих величин.

Розглянемо кожен з цих етапів більш детально.

Отже, нехай дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Система лінійних рівнянь

Припустимо, що коефіцієнт a11 ≠ 0 (ведучий елемент).  Цього, завжди, можна досягнути перестановкою рівнянь. Поділивши коефіцієнти першого рівняння системи (1) на a11 отримаємо:

де c1j = a1j / a11 (j > 1); d1 = b1 / a11.

Користуючись рівнянням (2), легко виключити з 2, 3, 4, ..., n рівняння системи (1) невідому x1. Для цього достатньо від другого рівняння системи (1) відняти рівняння (2), помножене на a21; від третього рівняння системи (1) , відняти рівняння (2), помножене на a31, і так далі.

Таким чином, отримаємо систему трикутної форми:

Метод Гаусса - прямий хід

Зауваження: якщо елементи будь-якого рядка матриці системи в результаті перетворень стали рівними нулю, а права частина не дорівнює нулю то система лінійних рівнянь несумісна; якщо елементи будь-якого рядка матриці системи та права частина в результаті перетворень стали рівними нулю, то система рівнянь сумісна, але має безліч рішень – обчислюються за допомогою методу Гаусса для системи порядку r, де rранг матриці вихідної системи лінійних рівнянь.

Як уже зазначалося вище, етап номер два полягає у знаходженні значень невідомих із системи, яку отримали на попередньому етапі. Його називають оберненим ходом, тому що, спочатку, з останнього рівняння, знаходять xn:

xn = bn / ann

На наступному кроці, величина xn підставляється у (n - 1)-ше рівняння системи (3), і, таким чином, знаходиться значення невідомої xn-1:

xn-1 = (bn-1 - an-1n * xn) / an-1n-1
Далі, підставивши xn та xn-1 в (n - 2)-ге рівняння системи (3) – знаходимо xn-2. Продовжуючи даний процес далі, отримаємо розв’язок системи рівнянь (1).

Очевидно, що даний процес визначений однією формулою:

Метод Гаусса - обернений хід

Приклад 1: розв’язати систему рівнянь методом Гаусса:

Система чотирьох лінійних рівнянь з чотирма невідомими

Отже, виходячи з того, що елемент a11 дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому x1, достатньо від цих рівнянь відняти перше помножене на a21 = 3 та a31 = 5 відповідно. В результаті матимемо:

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої x2 з третього і четвертого рівнянь системи. Для цього, коефіцієнти другого рівняння поділимо на a22 = -14, після чого, від третього рівняння віднімаємо друге помножене на a32 = -32 і від четвертого – друге помножене на a42 = 3.

Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Далі, переходимо до виключення невідомої x3 з четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рівняння ділимо на a33 = 10.1 і від елементів четвертого рівняння віднімаємо елементи третього, помножені на a43 = -7.3:

На останньому кроці, коефіцієнти четвертого рівняння розділимо на a44 = 4.4:

Отже, система приведена до «ступінчастого» вигляду. Перейшовши до етапу номер два (обернений хід), виконаємо послідовне знаходження значень невідомих величин.

З останнього рівняння маємо, що x4 = -1. Підставляючи це значення в третє рівняння системи матимемо: x3 = 1 . Продовжуючи далі такзвану «зворотню підстановку», отримаємо: x2 = 2x1 = 3.

Таким чином розв’язком системи рівнянь є наступні значення:

Розв'язок системи рівнянь методом Гаусса

  1. Що називається рішенням системи лінійних алгебраїчних рівнянь?
  2. Метод Гаусса є точним чи наближеним методом?
  3. Назвіть схему розв’язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса.
  4. Чи будь-яку систему лінійних рівнянь можна розв’язати методом Гаусса?
  5. Чим метод Гаусса відрізняється від методу Жордана-Гаусса?
  6. Що таке елементарні перетворення матриці?
  7. До якого виду може бути приведена система лінійних алгебраїчних рівнянь в результаті її розв’язку методом Гаусса?
  8. Що потрібно виконати для перевірки знайденого рішення?

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь методом Гауcса

Метод Гаусса блок-схема

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*