Категорія: Квадратні рівняння

Рішення квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта

Розглядаючи означення квадратного рівняння ми також познайомились з універсальним алгоритмом рішення рівнянь такого типу через дискримінант. Проте, в математиці існують і інші спеціальні прийоми, за якими багато квадратних рівнянь розв’язуються дуже швидко і без всяких дискримінантів. Саме розгляду одного з таких прийомів, а саме теоремі Вієта, і буде присвячений даний параграф.

Отже, для початку, введемо нове означення: квадратне рівняння називається зведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює одиниці, тобто це рівняння виду . Зрозуміло, що будь-яке рівняняя можна зробити зведеним, для цього достатньо розділити всі його коефіцієнти на число . Зробити це можна завжди, адже, за означенням квадратного рівняння, .

Тепер сформулюємо основну теорему, для якої, власне, і вводилося поняття зведеного квадратного рівняння: нехай для рівняння коренями являються числа  і (допускається і випадок коли ). Тоді, слідуючи з теореми, справедливими являються настуні формули (формули Вієта):

Доведемо їх істенність. Для цього, скориставшись відомими формулами обчислення коренів, врахувавши при цьому, що , переконаємося, що сума і добуток чисел  і  дорівнюють  та відповідно:

Читати далі

Квадратне рівняння. Обчислення дискримінанту та коренів квадратного рівняння

Рівняння виду , де – дійсні числа, причому , називається квадратним рівнянням. Нагадаємо, що називається дискримінантом квадратного тричлена. Якщо , то рівняння (1) має два різних дійсних кореня, які легко обчислюються за наступними формулами:

Відмітимо, що знайшовши корені та квадратне рівння (1) можна представити в наступному вигляді:

Якщо , то рівняння (1) має два кореня, значення яких співпадають, і обчислюються за формулою:

Аналогічно попередньому випадку, знайшовши корені квадратного рівняння дискримінант якого рівний нулю, його можна переписати у наступному вигляді:

Якщо ж , то, в рівняння (1) дійсних коренів не має, а має два комплексних спряжених кореня. Формули для їх обчислення записуються наступним чином:

Читати далі