Автор: admin

Теорема косинусів: формула, наслідки та приклади

Теорема косинусів дозволяє виразити довжину будь-якої сторони трикутника через довжини двох інших його сторін і косинус кута між ними. Наприклад, довжину сторони BC трикутника  через довжини сторін AB та AC і cos(α). Теорему косинусів можна назвати самою «використовуваною» в геометрії. Вона має численні наслідки, які часто використовуються при розв’язуванні задач.

Теорема косинусів

Трикутник ABC

Теорема косинусів формулюється так: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними, тобто:

Читати далі

Теорема синусів, формула і приклади

Як відомо, у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона. Нехай BC, AC, AB – сторони, α, β, γ – протилежні їм кути трикутника ABC відповідно. Якщо сторона BC – велика, AC – середня, AB – менша, то кут α – більший, β – середній, γ – менший. Встановимо точний зв’язок між довжиною сторони трикутника і величиною протилежного їй кута.

Теорема синусів

Трикутник ABC

Отже, згідно з теоремою синусів, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу кола, описаного навколо трикутника, тобто:

Читати далі

Медіани трикутника, їх властивості та використання для розв’язування задач

Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, а також пряма, яка містить цей відрізок.

Кожен трикутник має рівно три медіани, по одній з кожної вершини, і всі вони перетинаються в центрі трикутника. У разі рівнобедреного і рівностороннього трикутників, медіана ділить навпіл будь-який кут у вершині для якого дві суміжні сторони рівні.

Розглянемо властивості медіан трикутника:

Читати далі

Ірраціональні нерівності

Нерівності, що містять невідомі величини або деякі функції невідомих величин під знаком кореня називаються ірраціональними нерівностями.

При розв’язуванні ірраціональних нерівностей використовується наступне твердження: якщо обидві частини нерівності приймають на деякій множині тільки додатні значення, то, звівши обидві її частини в квадрат (або в будь-яку іншу парну степінь) і зберігши знак вихідної нерівності, отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Зведення обох частин нерівності в одну і ту ж непарну степінь (зі збереженням знака нерівності) завжди є рівносильним перетворенням нерівності.

Читати далі

Бісектриси трикутника і їх властивості

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні і ділить даний кут на дві рівні частини. Кожний трикутник має три бісектриси.

Бісектриси трикутника ABC

Бісектриси трикутника перетинаються в точці О

Бісектриса характеризується наступними властивостями:

Читати далі