Автор: admin

Квадратні нерівності

Нехай потрібно розв’язати нерівність (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні непівностей ).

У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена потрібно розглянути два випадки.

  1. Якщо , а старший коефіцієнт додатний, то при всіх значеннях виконується нерівність .
  2. Якщо , то для розв’язування нерівності потрібно квадратний тричлен , за формулою , розкласти на множники, потім від квадратної нерівності перейти до двох систем лінійних нерівностей і знайти їх рішення.

Зауваження: квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків). В його основі лежить така властивість двочлена : точка ділить вісь на дві частини – праворуч від точки двочлен , а ліворуч від точки .

Читати далі

Розв’язування лінійних нерівностей

Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Розв’язком нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною обертається у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною – значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Дві нерівності називаються рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збігаються. Зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків.

Основні теореми про рівносильні нерівності:

  1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  2. Якщо до обох частин нерівності додати або відняти будь-яке число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на додатнє число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  4. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на від’ємне число, то рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту.

Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність виду , або ті, які зводяться до них. Розглянемо далі особливості розв’язування лінійних нерівностей. Зазначимо, що особливу увагу, в даному випадку, необхідно звернути на залежність розв’язків нерівності від значень коефіцієнтів і :

Читати далі

Розв’язання ірраціональних рівнянь

Ірраціональним називається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня. Прикладами ірраціональних рівнянь є: .

Загальний метод розв’язання ірраціональних рівнянь полягає в наступному: спочатку ізолюють один радикал, потім обидві частини підносять до степеня, потім знову ізолюють радикал і так далі. При піднесенні обох частин рівняння до одного і того ж степеня отримуємо рівняння, яке в загальному випадку не є рівносильним до даного, тому обов’язково потрібно перевірити, чи знайдені значення невідомої змінної задовольняють початкове рівняння. Другий спосіб розв’язку – спосіб заміни змінної. Розв’язуючи ірраціональне рівняння, необхідно, також, перевірити область допустимих значень.

Отже, при розв’язуванні ірраціональних рівнянь:

  1. знаходять область допустимих значень рівняння;
  2. розв’язують рівняння одним з методів;
  3. виконують перевірку отриманих коренів.

Ірраціональні рівняння – приклади розв’язання:

Приклад 1: розв’язати ірраціональне рівняння наступного вигляду: .

Читати далі

Логарифмічне диференціювання

Логарифмічним диференціюванням називається метод диференціювання функцій, при якому спочатку знаходиться логарифм функції, а потім обчислюється похідна від нього. Зазначимо, що такий прийом доцільно застосувати у випадку, коли задана функція містить множення, ділення, піднесення до степеня чи видобування кореня.

Розглянемо даний підхід більш детально. Отже, нехай дана функція . Візьмемо натуральні логарифми від обох її частин. В результаті отримаємо:

Тепер, продиференціюємо цей вираз як складну функцію, маючи на увазі, що  – це функція від :

Виразивши з останньої рівності шукану похідну, остаточно отримаємо:

Зазначимо, що похідна виду (3) називається логарифмічною похідною, а процес її знаходження – логарифмічним диференціюванням.

Читати далі

Похідна параметрично заданої функції

Припустимо, що функція  задана в параметричному вигляді за допомогою двох рівнянь наступного вигляду:

де  допоміжна змінна, яку називають параметром. Запишемо флормулу для знаходження похідної заданої таким чином функції.

Отже, припустимо, що функції і в деякій області зміни параметра  мають похідні, причому . Крім того, будемо вважати, що функція  має обернену функцію .

Зазначимо, що в такому випадку, задану параметричним рівнянням (1), функцію можна розглядати як складну функцію: , де  – проміжний аргумент. І тоді, за правилом диференціювання складної функції, маємо:

Оскільки, по теоремі про похідну оберненої функції виконується (похідна функції, оберненої до даної дорівнює величині, оберненій до похідної даної функції, якщо остання не дорівнює нулю), то формулу (2) можна переписати в дещо іншому вигляді: .

Читати далі