Категорія: Вектори і операції з ними

Мішаний добуток трьох векторів

Нехай дано три вектора , і . Вектор помножимо векторно на , векторний добуток помножимо скалярно на , в результаті отримуємо число, яке називають векторно-скалярним добутком або мішаним добутком з трьох векторів . Мішаний добуток позначається .

Векторно-скалярний добуток з трьох некомпланарних векторів дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , взятому зі знаком плюс, якщо трійка – права і зі знаком мінус, коли ця трійка – ліва.

Мішаний добуток векторів

Ілюстрація до визначення мішаного добутку

Дійсно, . Тут – площа паралелограма, побудованого на векторах та і – висота паралелепіпеда. Таким чином, .

Векторний добуток двох векторів

Векторним добутком двох векторів і називається третій вектор , який задовольняє наступним умовам:

Вектор перпендикулярний кожному з векторів і .
Довжина вектора дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах та , тобто , де – кут між даними векторами.
Вектори , і утворюють праву трійку.

Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме та . Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто .

Векторний добуток двох векторів

Ілюстрація до визначення векторного добутку

Зауваження: некомпланарні вектори , взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від до спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.

Скалярний добуток векторів

Під скалярним добутком двох векторів і розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

де – менший кут між векторами та (). Разом із символом в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме або .

Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:

Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:

Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.

Проекція вектора на вісь

Нехай задано вектор і вісь . З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки та ) і утворимо вектор .

Проекцією вектора на вісь називають довжину вектора , взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора та осі співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.

Проекція вектора на вісь

Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь

Проекцію вектора будемо позначати через або , де – будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.

Множення вектора на число

Добутком вектора на число називається вектор , колінеарний вектору , який має довжину і спрямований у той самий бік, що й вектор , якщо , і в протилежний, якщо (для позначення використовують запис ).

Множення вектора на число

Зауваження: якщо вектор заданий своїми координатами та , то добуток цього вектора на число – це вектор , координати якого дорівнюють відповідним координатам даного вектора , помноженим на число : .