Розв'язок системи рівнянь використовуючи метод Зейделя

Метод Зейделя являє собою певну модифікацію методу простої ітерації, основна ідея якого полягає в тому, що при обчисленні -го наближення невідомої , враховуються вже обчислені -ші наближення невідомих .

Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, запишемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь в наступному вигляду:

Довільним чином, виберемо початкові наближення розв’язку , намагаючись, щоб вони якоюсь мірою відповідали шуканим невідомим .

Далі, припускаючи, що -те наближення коренів відоме, відповідно до методу Зейделя, будемо шукати -е наближення за наступними формулами:

Зауваження: теорема, що стосується збіжності ітераційного процесу методу простої ітерації залишається актуальною і для ітерації методом Зейделя.

Одним з плюсів методу Зейделя є те, що він дає кращу збіжність ніж метод простої ітерації, а недоліком є більш громіздкий процес обчислень. Метод Зейделя може збігатися навіть у тому випадку, коли процес ітерації розбіжний. Однак це буває не завжди. Бувають також випадки, коли процес Зейделя збігається повільніше від процесу простої ітерації. Більше того, бувають випадки, коли процес ітерації збігається, а процес Зейделя розбіжний.

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод Зейделя – приклад:

Викристовуючи розглянутий алгоритм методу Зейделя, знайти розв’язок наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з точністю :

Для цього, як і у випадку методу простої ітерації, на першому кроці, запишемо задану систему у зручному для ітерації вигляду, тобто розв’яжемо її відносно невідомих, які стоять на головній діагоналі. В результаті матимемо:

Далі, взявши за початкове наближення коренів систем значення та скориставшись формулами (1), отримаємо перші наближені значення для шуканих коренів:

Після цього, при обчисленні використовуємо вже отримане значення :

При обчисленні використовуємо вже отримані значення і :

При обчисленні використовуємо вже отримані значення , та :

Після цього, перевіряємо критерій закінчення ітераційного процесу, тобто знаходимо максимальне значення модуля різниці відповідних елементів векторів та . В нашому випадку дане максимальне значення являється більшим від заданого значення (), тому продовжуємо ітераційний процес далі.