Наближене розв’язування системи лінійних рівнянь використовуючи метод Зейделя

Метод Зейделя представляє собою модифікацію методу ітерації, основна ідея якого полягає в тому, що при обчисленні (k + 1)-го наближення невідомої xi, враховуються вже обчислені (k + 1)-ші наближення невідомих x1, x2, x3,..., xi-1.

Одним з плюсів методу є те, що він дає кращу збіжність ніж метод простої ітерації, а недоліком є більш громіздкий процес обчислень.

Зазначимо, що метод Зейделя може збігатися навіть у тому випадку, коли процес ітерації розбіжний. Однак це буває не завжди.

Бувають також випадки, коли процес Зейделя збігається повільніше від процесу простої ітерації. Більше того, бувають випадки, коли процес ітерації збігається, а процес Зейделя розбіжний.

Нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

Система лінійних рівнянь

Довільним чином, виберемо початкові наближення розв’язку x1, x2, x3,..., xn, намагаючись, щоб вони якоюсь мірою відповідали шуканим невідомим x1, x2, x3,..., xn.

Далі, припускаючи, що k-те наближення коренів xi відоме, відповідно до методу Зейделя, будемо шукати (k + 1)-ше наближення за наступними формулами:

Метод Зейделя формула

Ітераційний процес методу Зейделя необхідно продовжувати до тих пір, поки не буде виконуватись умова Умова закінчення ітераційного процесу, де ε задана точність обчислювального процесу.

Зауваження: умова, що стосується збіжності ітераційного процесу методу простої ітерації залишається актуальною і для ітерації методом Зейделя.

Приклад 1: методом Зейделя, розв’язати систему лінійних рівнянь з точністю :

Система 4 лінійних рівнянь з 4 невідомими

Для цього, як і у випадку з методом простої ітерації, на першому кроці, запишемо задану систему у зручному для ітерації вигляду, тобто розв’яжемо її відносно невідомих, які стоять на головній діагоналі. В результаті отримаємо:

Система записана у зручному для ітерації вигляду

Далі, взявши за початкове наближення коренів систем значення Початкове наближення коренів та скориставшись формулами (2), знайдемо перші наближені значення для шуканих коренів:

Метод Зейделя ітерація номер 1

Після цього, при обчисленні x2 використовуємо вже отримане значення x1:

Метод Зейделя ітерація номер 1

При обчисленні x3, використовуємо вже отримані значення x1 і x2:

Метод Зейделя ітерація номер 1

При обчисленні x4 використовуємо вже отримані значення x1x2 та x3:

Метод Зейделя ітерація номер 1

Після цього, перевіряємо критерій закінчення ітераційного процесу, тобто знаходимо максимальне значення модуля різниці відповідних елементів векторів x1 та x0.

Зазначимо, що в нашому випадку дане максимальне значення являється більшим від заданого (Умова зупинки методу простої ітерації), тому продовжуємо ітераційний процес далі:

Метод Зейделя ітерація номер 2 - 5

  1. Охарактеризуйте точні та наближені чисельні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
  2. До якої групи відноситься ітераційний метод Зейделя?
  3. У чому полягає суть методу Зейделя?
  4. Яка умова є критерієм досягнення заданої точності в методі Зейделя?
  5. Якою є умова збіжності методу Зейделя.

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь методом Зейделя.

Метод Зейделя блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*