Категорія: Нерівності

Ірраціональні нерівності

Нерівності, що містять невідомі величини або деякі функції невідомих величин під знаком кореня називаються ірраціональними нерівностями.

При розв’язуванні ірраціональних нерівностей використовується наступне твердження: якщо обидві частини нерівності приймають на деякій множині тільки додатні значення, то, звівши обидві її частини в квадрат (або в будь-яку іншу парну степінь) і зберігши знак вихідної нерівності, отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Зведення обох частин нерівності в одну і ту ж непарну степінь (зі збереженням знака нерівності) завжди є рівносильним перетворенням нерівності.

Читати далі

Квадратні нерівності

Нехай потрібно розв’язати нерівність (аналогічні міркування проводяться при розв’язуванні непівностей ).

У залежності від знака дискримінанта квадратного тричлена потрібно розглянути два випадки.

  1. Якщо , а старший коефіцієнт додатний, то при всіх значеннях виконується нерівність .
  2. Якщо , то для розв’язування нерівності потрібно квадратний тричлен , за формулою , розкласти на множники, потім від квадратної нерівності перейти до двох систем лінійних нерівностей і знайти їх рішення.

Зауваження: квадратні нерівності, а також нерівності вищих степенів можна розв’язувати методом інтервалів (методом проміжків). В його основі лежить така властивість двочлена : точка ділить вісь на дві частини – праворуч від точки двочлен , а ліворуч від точки .

Читати далі

Розв’язування лінійних нерівностей

Нерівністю з однією змінною називається нерівність, що містить одну незалежну змінну. Розв’язком нерівності називається будь-яке значення змінної, при якому початкова нерівність зі змінною обертається у правильну числову нерівність. Розв’язати нерівність зі змінною – значить знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Дві нерівності називаються рівносильними (еквівалентними), якщо розв’язки цих нерівностей збігаються. Зокрема, нерівності рівносильні, якщо вони не мають розв’язків.

Основні теореми про рівносильні нерівності:

  1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  2. Якщо до обох частин нерівності додати або відняти будь-яке число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на додатнє число, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.
  4. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на від’ємне число, то рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту.

Лінійною нерівністю з однією змінною називається нерівність виду , або ті, які зводяться до них. Розглянемо далі особливості розв’язування лінійних нерівностей. Зазначимо, що особливу увагу, в даному випадку, необхідно звернути на залежність розв’язків нерівності від значень коефіцієнтів і :

Читати далі