Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць
В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці 
розглядалася обернена матриця 
. Якщо ж матриця прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці 
, яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли – квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .
Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці з розмірами 
називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:
де 
означає перехід до сполученої матриці.
будемо розглядати як результат окантування матриці 
-го порядку, для якої вважається, що обернена матриця являється відомою. Тобто:
позначає згадуану вище матрицю
.
також шукатимемо у вигляді окантованої матриці:
– матриця порядку 
, 
– вектор-рядок, 
– вектор-стовпець і 
– число, яке нам потрібно визначити. За правилом множення окантованих матриць маємо:
порядку 
на чотири клітини, використовуючи для цього наступну схему:
. Після цього, обернену матрицю до заданої будемо шукати у вигляді матриці, яка також складатиметься з чотирьох клітин. Тобто:
, перемножимо матриці (1) та (2). В результаті отримаємо чотири матричних рівняння:
розмірності 
, характеристичний многочлен якої записаний у наступному вигляді:
та послідовності маириць 
, порівняно просто можна знайти обернену матрицю 
. Для цього, скориставшись теоремою Гамільтона-Келі (при підстановці матриці в її характеристичний многочлен, виходить нульова матриця, іншими словами, матриця являетса коренем свого характеристичного многочлена), отримаємо:
розмірності 
називається таблиця чисел, яка складається з 
рядків та 
стовпців.
міститься в 
-му рядку та 
-му стовпці матриці 
, розмірності 
, елемент 
а елемент 
.