Категорія: Алгебра матриць

Псевдообернена матриця. Обертання прямокутних та вироджених матриць

В попередніх параграфах для квадратної невиродженої матриці розглядалася обернена матриця . Якщо ж матриця  прямокутна або квадратна, але вироджена, то вона немає класичної оберненої матриці. Однак в цьому випадку може бути введено поняття узагальненої оберненої матриці , яка має деякі властивості оберненої та використовується при вирішенні деяких систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У разі, коли  – квадратна невироджена матриця, узагальнена обернена матриця збігається з оберненою матрицею .

Узагальненою оберненою (псевдооберненою) матрицею для прямокутної матриці  з розмірами називають єдину матрицю, що задовольняє чотирьом умовам:

де означає перехід до сполученої матриці.

Читати далі

Метод окантування для знаходження оберненої матриці

У цьому параграфі розглянемо обчислювальну схему для знаходження оберненої матриці основану на ідеї окантування. Для цього, задану матрицю будемо розглядати як результат окантування матриці -го порядку, для якої вважається, що  обернена матриця являється відомою. Тобто:

Тут позначає згадуану вище матрицю-го порядку, а .

Тоді, матрицю також шукатимемо у вигляді окантованої матриці:

де – матриця порядку , – вектор-рядок, – вектор-стовпець і  – число, яке нам потрібно визначити. За правилом множення окантованих матриць маємо:

Читати далі

Знаходження оберненої матриці використовуючи метод розбиття на клітини

Іноді буває доцільно, при знаходженні оберненої матриці, попередньо розбити її на клітини. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, на першому кроці, розіб’ємо матрицю  порядку  на чотири клітини, використовуючи для цього наступну схему:

де в дужках вказані порядки відповідних клітин, причому . Після цього, обернену матрицю до заданої будемо шукати у вигляді матриці, яка також складатиметься з чотирьох клітин. Тобто:

Скориставшись означенням оберненої матриці, а саме , перемножимо матриці (1) та (2). В результаті отримаємо чотири матричних рівняння:

Читати далі

Знаходження оберненої матриці використовуючи коефіцієнти її характеристичного многочлена

Нехай маємо деяку невироджену матрицю розмірності , характеристичний многочлен якої записаний у наступному вигляді:

Покажемо, яким чином за допомогою коефіцієнтів цього характеристичного многочлена та послідовності маириць , порівняно просто можна знайти обернену матрицю Обернена матриця. Для цього, скориставшись теоремою Гамільтона-Келі (при підстановці матриці в її характеристичний многочлен, виходить нульова матриця, іншими словами, матриця являетса коренем свого характеристичного многочлена), отримаємо:

Помноживши матричну рівність (1) на Обернена матриця зліва, отримуємо:

Читати далі

Означення матриці. Основні операції над матрицями

Матрицею розмірності називається таблиця чисел, яка складається з рядків та стовпців.

Прямокутна матриця

Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент  міститься в -му рядку та -му стовпці матриці . До прикладу, для матриці , розмірності , елемент а елемент .

Матриці, які складається з одного рядка або з одного стовпця, називаються матрицею-рядком (вектором-рядком), або матрицею-стовпцем (вектором-стовпцем) відповідно і записуються наступним чином:

Читати далі