Метод Жордана-Гаусса. Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса

Модифікованою версією методу виключень Гаусса є виключення Жордана-Гаусса.

Основна ідея даної модифікації полягає в тому, що система рівнянь зводиться до рівносильної їй системи з одиничною або діагональною матрицею. Це досягається за допомогою тих же трьох типів матричних маніпуляцій, що і в методі Гаусса.

Оскільки квадратна матриця складається лише з одиничних значень діагональних елементів, рішення для всіх невідомих стають легко доступними.

Один із недоліків методу Жордана-Гаусса полягає в тому, що він більш витратний у обчислювальному відношенні, ніж класичний метод Гаусса. Таким чином, він корисний лише для розв’язку задач шляхом ручного розрахунку, коли є невелика кількість рівнянь та невідомих системи.

Використовуючи метод виключень Гаусса, а не метод Жордана-Гаусса, ми уникаємо багатьох додаткових кроків.

Розглянемо метод Жордана-Гаусса більш детально. Для цього запишемо систему лінійних рівнянь наступного вигляду:

Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Обчислювальна схема методу Жордана-Гаусса складається з n циклів, на кожному з яких послідовно за допомогою k-го рядка здійснюється виключення коефіцієнтів при невідомій xk в кожному рядку матриці, крім рядка під номером k.

Дана схема реалізується за допомогою наступних кроків:

  1. Виконуємо ділення k-го рядка матриці та стовпця вільних членів на елемент akkМетод Жордана Гаусса формула.
  2. Від m-го рядка матриці та m-го рядка стовпця вільних членів віднімаємо k-й помножений на елемент amkМетод Жордана Гаусса формула.

В результаті виконання n циклів отримаємо систему з одиничною матрицею коефіцієнтів:

Система з одиничною матрицею коефіцієнтів

За допомогою даної системи вектор невідомих легко знаходиться за формулою xi = bi.

Зауваження: необхідною і достатньою умовою при використанні методу Жордана-Гаусса являється відмінність від нуля всіх ведучих елементів матриці, тобто akk ≠ 0.

Розглянемо ще один алгоритм методу Жордана-Гаусса (також відомий як матрично-векторний метод Жордана-Гаусса), який для приведення системи (1) до виду (4) використовує формулу (2) та сукупність матриць Lk наступного вигляду:

Матриця Lk

де  (дані матриці відрізняються від одиничної лише елементами, які містяться в k-му стовпці).

Зазначимо, що в такому випадку, процес приведення матриці до одиничної форми зводиться до обчислення послідовності добутків двох матриць:

Метод Жордана Гаусса формула

Даний процес починається з матриці A0 (дорівнює вихідній матриці A, тобто A0 = A), вектора  () і матриці L1:

L1;

де di1 = =ai1 / a11.

В результаті виконання n циклів, також отримуємо систему з одиничною матрицею E і вектором вільних членів bn, тобто систему виду (4).

Приклад 1: використовуючи розглянутий алгоритм методу Жордана-Гаусса, розв’язати систему рівнянь наступного виду:

Система 4 лінійних рівнянь з 4 невідомими

Для зручності, дану систему запишемо в матрично-векторній формі:

Система 4 лінійних рівнянь з 4 невідомими - матрично-векторна форма

Виходячи з того, що елемент a11 дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому x1, достатньо від цих рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів відняти перший помножений на a21 = 3 і a31 = 5 відповідно. В результаті отримаємо:

Зауваження: виходячи з того, що значення коефіцієнта a41 дорівнює нулю, то здійснювати виключення невідомої x1 з четвертого рівняння системи немає сенсу.

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої x2 з першого, третього і четвертого рівнянь системи.

Для цього, елементи другого рядка матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів поділимо на a22 = -14, після чого, від першого рядка віднімаємо другий помножений на a12 = 5; від  третього віднімаємо другий помножене на a32 = -32; від четвертого – другий помножене на a42 = 3.

Зазначимо, що аналогічні дії необхідно виконувати також і з рядками стовпця вільних членів.

Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Далі, переходимо до виключення невідомої x3 з першого, другого та четвертого рівняння системи.

Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рядка ділимо на a33 = 10.152 і від елементів першого, другого і четвертого рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів віднімаємо третій помножений на a13 = -7.3, a23 = 0.786, a43 = -7.358 відповідно.

В результаті отримаємо систему наступного виду:

І на останньому кроці, здійснимо виключення невідомої x4 з першого, другого та третього рівнянь системи.

Для цього, як у попередніх випадках, коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів розділимо на a44 = 6.404 і від елементів першого, другого та третього рядків віднімаємо четвертий помножнний на a14 = 0.769, a24 = -1.266, a34 = 0.521 відповідно.

Відмітимо, що в результаті виконання даного кроку отримаємо систему з одиничною матрицею,  з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих (дорівнюють значенням елементів стовпця вільних членів):

Приклад 2: використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гауссарозв’язати системи рівнянь з прикладу номер один:

Система 4 лінійних рівнянь з 4 невідомими - матрично-векторна форма

Нагадаємо, що даний алгоритм також базується на процедурі приведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Проте реалізується вона в дещу інший спосіб.

Для виключення невідомої x1 з другого третього та четвертого рівнянь системи, на першому кроці, скористаємось формулами (2) (виходячи з того, що в нашому випадку a11 = 1, дана операція немає сенсу).

Після цього, побудуємо матрицю L1 та знайдемо добуток даної матриці з матрицею A0 = A та вектором :

Для виключення невідомої x2 з першого, третього і четвертого рівнянь системи, розділимо другий рядок матриці коефіцієнтів A1 та стовпця вільних членів b1 на елемент a22 = -14 та побудуємо матрицю L2.

Далі, аналогічним чином, знайдемо добуток даної матриці з матрицею A1 та вектором b1:

Для виключення невідомої x3 з першого, другого і четвертого рівнянь системи, скориставшись формулами (2), розділимо третій рядок матриці A2 та стовпця вільних членів b2 на елемент a33 = 10.152.

На наступному кроці, побудуємо матрицю L3 та знайдемо добуток даної матриці з матрицею A2 та вектором b2:

На останньому, четвертому кроці, здійснимо виключення невідомої x4 з першого, другог і третього рівнянь системи.

Для цього, як у попередніх випадках, виконуємо наступні дії:

  • коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів ділимо на елемент a44 = 4.439;
  • будуємо матрицю L4;
  • знаходимо добуток матриці L4 з матрицею A3 та вектором b3.

Результатом виконання даного кроку є систему з одиничною матрицею,  з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих:

  1. Що є розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь?
  2. Як виглядає запис системи лінійних рівнянь у матричній формі?
  3. Що таке елементарні перетворення матриці? У чому полягає їхня користь?
  4. У чому полягає сутність методу Жордана-Гаусса для рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь? Чим відрізняється від нього метод Гаусса?
  5. До якого виду може бути приведена система лінійних алгебраїчних рівнянь в результаті її розв’язку методом Жордана-Гаусса?

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусcа

Метод Жордана-Гаусcа блок-схема

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гаусса

Матрично-векторний метод Жордана-Гаусcа блок-схема

Ми в соціальних мережах

2 коментаря

  1. Дякую за вичерпну, і корисну інформацію. Автору плюс у карму однозначно)

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*