Навігація по сторінці.
- Метод Жордана-Гаусса – алгоритм розв’язання систем рівнянь.
- Матрично-векторний метод Жордана-Гаусса.
- Приклади розв’язання систем рівнянь.
- Запитання для самоперевірки на тему метод Жордана-Гаусса.
- Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса.
- Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гаусса.
Модифікованою версією методу виключень Гаусса є виключення Жордана-Гаусса.
Основна ідея даної модифікації полягає в тому, що система рівнянь зводиться до рівносильної їй системи з одиничною або діагональною матрицею. Це досягається за допомогою тих же трьох типів матричних маніпуляцій, що і в методі Гаусса.
Оскільки квадратна матриця складається лише з одиничних значень діагональних елементів, рішення для всіх невідомих стають легко доступними.
Один із недоліків методу Жордана-Гаусса полягає в тому, що він більш витратний у обчислювальному відношенні, ніж класичний метод Гаусса. Таким чином, він корисний лише для розв’язку задач шляхом ручного розрахунку, коли є невелика кількість рівнянь та невідомих системи.
Використовуючи метод виключень Гаусса, а не метод Жордана-Гаусса, ми уникаємо багатьох додаткових кроків.
Метод Жордана-Гаусса – алгоритм розв’язання систем рівнянь.
Розглянемо метод Жордана-Гаусса більш детально. Для цього запишемо систему лінійних рівнянь наступного вигляду:
Обчислювальна схема методу Жордана-Гаусса складається з циклів, на кожному з яких послідовно за допомогою
-го рядка здійснюється виключення коефіцієнтів при невідомій
в кожному рядку матриці, крім рядка під номером
.
Дана схема реалізується за допомогою наступних кроків:
- Виконуємо ділення
-го рядка матриці та стовпця вільних членів на елемент
:
.
- Від
-го рядка матриці та
-го рядка стовпця вільних членів віднімаємо
-й помножений на елемент
:
.
В результаті виконання циклів отримаємо систему з одиничною матрицею коефіцієнтів:
За допомогою даної системи вектор невідомих легко знаходиться за формулою .
Зауваження: необхідною і достатньою умовою при використанні методу Жордана-Гаусса являється відмінність від нуля всіх ведучих елементів матриці, тобто .
Матрично-векторний метод Жордана-Гаусса.
Розглянемо ще один алгоритм методу Жордана-Гаусса (також відомий як матрично-векторний метод Жордана-Гаусса), який для приведення системи (1) до виду (4) використовує формулу (2) та сукупність матриць наступного вигляду:
де (дані матриці відрізняються від одиничної лише елементами, які містяться в
-му стовпці).
Зазначимо, що в такому випадку, процес приведення матриці до одиничної форми зводиться до обчислення послідовності добутків двох матриць:
Даний процес починається з матриці (дорівнює вихідній матриці
, тобто
), вектора
(
) і матриці
:
де .
В результаті виконання циклів, також отримуємо систему з одиничною матрицею
і вектором вільних членів
, тобто систему виду (4).
Приклади розв’язання систем рівнянь.
Приклад 1: використовуючи розглянутий алгоритм методу Жордана-Гаусса, розв’язати систему рівнянь наступного виду:
Для зручності, дану систему запишемо в матрично-векторній формі:
Виходячи з того, що елемент дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому
, достатньо від цих рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів відняти перший помножений на
і
відповідно. В результаті отримаємо:
Зауваження: виходячи з того, що значення коефіцієнта дорівнює нулю, то здійснювати виключення невідомої
з четвертого рівняння системи немає сенсу.
На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої з першого, третього і четвертого рівнянь системи.
Для цього, елементи другого рядка матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів поділимо на , після чого, від першого рядка віднімаємо другий помножений на
; від третього віднімаємо другий помножене на
; від четвертого – другий помножене на
.
Зазначимо, що аналогічні дії необхідно виконувати також і з рядками стовпця вільних членів.
Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:
Далі, переходимо до виключення невідомої з першого, другого та четвертого рівняння системи.
Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рядка ділимо на і від елементів першого, другого і четвертого рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів віднімаємо третій помножений на
відповідно.
В результаті отримаємо систему наступного виду:
І на останньому кроці, здійснимо виключення невідомої з першого, другого та третього рівнянь системи.
Для цього, як у попередніх випадках, коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів розділимо на і від елементів першого, другого та третього рядків віднімаємо четвертий помножнний на
відповідно.
Відмітимо, що в результаті виконання даного кроку отримаємо систему з одиничною матрицею, з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих (дорівнюють значенням елементів стовпця вільних членів):
Приклад 2: використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гаусса, розв’язати системи рівнянь з прикладу номер один:
Нагадаємо, що даний алгоритм також базується на процедурі приведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Проте реалізується вона в дещу інший спосіб.
Для виключення невідомої з другого третього та четвертого рівнянь системи, на першому кроці, скористаємось формулами (2) (виходячи з того, що в нашому випадку
, дана операція немає сенсу).
Після цього, побудуємо матрицю та знайдемо добуток даної матриці з матрицею
та вектором
:
Для виключення невідомої з першого, третього і четвертого рівнянь системи, розділимо другий рядок матриці коефіцієнтів
та стовпця вільних членів
на елемент
та побудуємо матрицю
.
Далі, аналогічним чином, знайдемо добуток даної матриці з матрицею та вектором
:
Для виключення невідомої з першого, другого і четвертого рівнянь системи, скориставшись формулами (2), розділимо третій рядок матриці
та стовпця вільних членів
на елемент
.
На наступному кроці, побудуємо матрицю та знайдемо добуток даної матриці з матрицею
та вектором
:
На останньому, четвертому кроці, здійснимо виключення невідомої з першого, другог і третього рівнянь системи.
Для цього, як у попередніх випадках, виконуємо наступні дії:
- коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів ділимо на елемент
;
- будуємо матрицю
;
- знаходимо добуток матриці
з матрицею
та вектором
.
Результатом виконання даного кроку є систему з одиничною матрицею, з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих:
Запитання для самоперевірки на тему метод Жордана-Гаусса.
- Що є розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь?
- Як виглядає запис системи лінійних рівнянь у матричній формі?
- Що таке елементарні перетворення матриці? У чому полягає їхня користь?
- У чому полягає сутність методу Жордана-Гаусса для рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь? Чим відрізняється від нього метод Гаусса?
- До якого виду може бути приведена система лінійних алгебраїчних рівнянь в результаті її розв’язку методом Жордана-Гаусса?
Дякую за вичерпну, і корисну інформацію. Автору плюс у карму однозначно)
Гарна стаття, дуже мене врятувала !