Розв'язок систем рівнянь використовуючи метод Жордана-Гаусса

Метод Жордана-Гаусса являється однією з модифікацій методу Гаусса і знаходження розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою даного методу зводиться до перетворення вихідної системи до системи з одиничною або діагональною матрицею. Тобто основна відмінність між методом Гаусса і методом Жордана-Гаусса полягає в тому, що при реалізації останнього, елементи матриці обнулюються як під, так і над головною діагоналлю, а значення діагональних елементів стають рівними одиниці. В результаті даного перетворення елементи вектора вільних членів являтимуться шуканим розв’язком системи.

Розглянемо даний метод більш детально. Для цього запишемо систему лінійних рівнянь наступного вигляду:

Обчислювальна схема методу Жордана-Гаусса складається з циклів, в кожному з яких послідовно за допомогою -го рядка виключаються елементи при невідомій в кожному рядку матриці коефіцієнтів, крім -го. Дана схема реалізується наступним чином:

Виконуємо ділення -го рядка матриці та стовпця вільних членів на елемент . Даний крок описується за допомогою наступних формул:

На другому кроці, від -го рядка матриці та -го рядка стовпця вільних членів віднімаємо -й помножений на елемент :

В результаті виконання циклів отримаємо систему з одиничною матрицею коефіцієнтів:

За допомогою даної системи вектор невідомих легко знаходиться за наступною формулою:.

Зауваження: необхідною і достатньою умовою при використанні методу Жордана-Гаусса являється відмінність від нуля всіх ведучих елементів матриці, тобто .

Розглянемо ще один алгоритм методу Жордана-Гаусса (також відомий як матрично-векторний метод Жордана-Гаусса), який для приведення системи (1) до вигляду (4) використовує формулу (2) та сукупність матриць :

де (дані матриці відрізняються від одиничної лише елементами, які містяться в -му стовпці). В даному випадку процес приведення матриці до одиничної зводиться до обчислення послідовності добутків двох матриць:

Даний процес починається з матриці , яка дорівнює вихідній матриці , тобто , вектора , і матриці наступного вигляду:

де .

В результаті виконання циклів, також отримуємо систему з одиничною матрицею і вектором вільних членів , тобто систему виду (4).

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод Жордана-Гаусcа – приклад:

Використовуючи розглянутий алгоритм методу Жордана-Гаусса, знайти розв’язок системи рівнянь наступного виду:

Для зручності запишемо дану систему у матрично-векторній формі:

Виходячи з того, що елемент дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому , достатньо від цих рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів відняти перший помножений на відповідно. В результаті отримаємо:

Зауваження: виходячи з того, що значення коефіцієнта дорівнює нулю, то здійснювати виключення невідомої з четвертого рівняння системи немає смислу.

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої з першого, третього та четвертого рівнянь системи. Для цього, елементи другого рядка матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів поділимо на , після чого, від першого рядка віднімаємо другий помножений на ; від третього віднімаємо другий помножене на і від четвертого – другий помножене на (відмітимо, що аналогічні дії необхідно виконувати також і з рядками стовпця вільних членів). Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Далі, переходимо до виключення невідомої з першого, другого та четвертого рівняння системи. Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рядка ділимо на і від елементів першого, другого і четвертого рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів віднімаємо третій помножений на відповідно. В результаті отримаємо систему наступного виду:

І на останньому кроці, здійснимо виключення невідомої з першого, другого та третього рівнянь системи. Для цього, як у попередніх випадках, коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів розділимо на і від елементів першого, другого та третього рядків віднімаємо четвертий помножнний на відповідно. Відмітимо, що в результаті виконання даного кроку отримаємо систему з одиничною матрицею, з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих (дорівнюють значенням елементів стовпця вільних членів):

Розв’язок системи рівнянь виристовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гаусса – приклад:

Використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гаусса, знайти розв’язок системи рівнянь з попереднього прикладу:

Нагадаємо, що даний алгоритм методу Жордана-Гаусса також базується на процедурі приведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Проте реалізується вона в дещо інший спосіб. Для виключення невідомої з другого третього та четвертого рівнянь системи, на першому кроці, скористаємось формулами (2) (виходячи з того, що в нашому випадку , дана операція немає сенсу), після чого, побудуємо матрицю та знайдемо добуток даної матриці з матрицею () та вектором ():

Для виключення невідомої з першого, третього і четвертого рівнянь системи, розділимо другий рядок матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів на елемент та побудуємо матрицю . Далі, аналогічним чином, знайдемо добуток даної матриці з матрицею та вектором :

Для виключення невідомої з першого, другого і четвертого рівнянь системи, скориставшись формулами (2), розділимо третій рядок матриці та стовпця вільних членів на елемент , після чого, побудуємо матрицю та знайдемо добуток даної матриці з матрицею та вектором :

На останньому, четвертому кроці, здійснимо виключення невідомої з першого, другог і третього рівнянь системи. Для цього, як у попередніх випадках, виконуємо наступні дії: коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів розділимо на елемент ; будуємо матрицю ; знайдемо добуток даної матриці з матрицею та вектором . Результаті виконання даного кроку є систему з одиничною матрицею, з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих: