Метод Жордана-Гаусса. Розв’язок систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусса

Модифікованою версією методу виключень Гаусса є виключення Жордана-Гаусса.

Основна ідея даної модифікації полягає в тому, що система рівнянь зводиться до рівносильної їй системи з одиничною або діагональною матрицею. Це досягається за допомогою тих же трьох типів матричних маніпуляцій, що і в методі Гаусса.

Оскільки квадратна матриця складається лише з одиничних значень діагональних елементів, рішення для всіх невідомих стають легко доступними.

Один із недоліків методу Жордана-Гаусса полягає в тому, що він більш витратний у обчислювальному відношенні, ніж класичний метод Гаусса. Таким чином, він корисний лише для розв’язку задач шляхом ручного розрахунку, коли є невелика кількість рівнянь та невідомих системи.

Використовуючи метод виключень Гаусса, а не метод Жордана-Гаусса, ми уникаємо багатьох додаткових кроків.

Метод Жордана-Гаусса – алгоритм розв’язання систем рівнянь.

Розглянемо метод Жордана-Гаусса більш детально. Для цього запишемо систему лінійних рівнянь наступного вигляду:

Обчислювальна схема методу Жордана-Гаусса складається з  циклів, на кожному з яких послідовно за допомогою -го рядка здійснюється виключення коефіцієнтів при невідомій  в кожному рядку матриці, крім рядка під номером .

Дана схема реалізується за допомогою наступних кроків:

1. Виконуємо ділення -го рядка матриці та стовпця вільних членів на елемент : .
2. Від -го рядка матриці та -го рядка стовпця вільних членів віднімаємо -й помножений на елемент : .

В результаті виконання  циклів отримаємо систему з одиничною матрицею коефіцієнтів:

За допомогою даної системи вектор невідомих легко знаходиться за формулою .

Зауваження: необхідною і достатньою умовою при використанні методу Жордана-Гаусса являється відмінність від нуля всіх ведучих елементів матриці, тобто .

Матрично-векторний метод Жордана-Гаусса.

Розглянемо ще один алгоритм методу Жордана-Гаусса (також відомий як матрично-векторний метод Жордана-Гаусса), який для приведення системи (1) до виду (4) використовує формулу (2) та сукупність матриць  наступного вигляду:

де  (дані матриці відрізняються від одиничної лише елементами, які містяться в -му стовпці).

Зазначимо, що в такому випадку, процес приведення матриці до одиничної форми зводиться до обчислення послідовності добутків двох матриць:

Даний процес починається з матриці  (дорівнює вихідній матриці , тобто ), вектора  () і матриці :

де .

В результаті виконання  циклів, також отримуємо систему з одиничною матрицею  і вектором вільних членів , тобто систему виду (4).

Приклади розв’язання систем рівнянь.

Приклад 1: використовуючи розглянутий алгоритм методу Жордана-Гаусса, розв’язати систему рівнянь наступного виду:

Для зручності, дану систему запишемо в матрично-векторній формі:

Виходячи з того, що елемент  дорівнює одиниці, то для того, щоб виключити з другого і третього рівнянь системи невідому , достатньо від цих рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів відняти перший помножений на  і  відповідно. В результаті отримаємо:

Зауваження: виходячи з того, що значення коефіцієнта  дорівнює нулю, то здійснювати виключення невідомої  з четвертого рівняння системи немає сенсу.

На наступному кроці, переходимо до виключення невідомої  з першого, третього і четвертого рівнянь системи.

Для цього, елементи другого рядка матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів поділимо на , після чого, від першого рядка віднімаємо другий помножений на ; від  третього віднімаємо другий помножене на ; від четвертого – другий помножене на .

Зазначимо, що аналогічні дії необхідно виконувати також і з рядками стовпця вільних членів.

Після виконання даного кроку система набуде наступного вигляду:

Далі, переходимо до виключення невідомої  з першого, другого та четвертого рівняння системи.

Для цього, аналогічним чином, коефіцієнти третього рядка ділимо на  і від елементів першого, другого і четвертого рядків матриці коефіцієнтів та стовпця вільних членів віднімаємо третій помножений на  відповідно.

В результаті отримаємо систему наступного виду:

І на останньому кроці, здійснимо виключення невідомої  з першого, другого та третього рівнянь системи.

Для цього, як у попередніх випадках, коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів розділимо на  і від елементів першого, другого та третього рядків віднімаємо четвертий помножнний на  відповідно.

Відмітимо, що в результаті виконання даного кроку отримаємо систему з одиничною матрицею,  з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих (дорівнюють значенням елементів стовпця вільних членів):

Приклад 2: використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гаусса, розв’язати системи рівнянь з прикладу номер один:

Нагадаємо, що даний алгоритм також базується на процедурі приведення матриці коефіцієнтів до трикутного вигляду. Проте реалізується вона в дещу інший спосіб.

Для виключення невідомої  з другого третього та четвертого рівнянь системи, на першому кроці, скористаємось формулами (2) (виходячи з того, що в нашому випадку , дана операція немає сенсу).

Після цього, побудуємо матрицю  та знайдемо добуток даної матриці з матрицею  та вектором :

Для виключення невідомої  з першого, третього і четвертого рівнянь системи, розділимо другий рядок матриці коефіцієнтів  та стовпця вільних членів  на елемент  та побудуємо матрицю .

Далі, аналогічним чином, знайдемо добуток даної матриці з матрицею  та вектором :

Для виключення невідомої  з першого, другого і четвертого рівнянь системи, скориставшись формулами (2), розділимо третій рядок матриці  та стовпця вільних членів  на елемент .

На наступному кроці, побудуємо матрицю  та знайдемо добуток даної матриці з матрицею  та вектором :

На останньому, четвертому кроці, здійснимо виключення невідомої  з першого, другог і третього рівнянь системи.

Для цього, як у попередніх випадках, виконуємо наступні дії:

• коефіцієнти четвертого рядка матриці та стовпця вільних членів ділимо на елемент ;
• будуємо матрицю ;
• знаходимо добуток матриці з матрицею  та вектором .

Результатом виконання даного кроку є систему з одиничною матрицею,  з якої легко знаходимо значення елементів вектора невідомих:

Запитання для самоперевірки на тему метод Жордана-Гаусса.

1. Що є розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь?
2. Як виглядає запис системи лінійних рівнянь у матричній формі?
3. Що таке елементарні перетворення матриці? У чому полягає їхня користь?
4. У чому полягає сутність методу Жордана-Гаусса для рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь? Чим відрізняється від нього метод Гаусса?
5. До якого виду може бути приведена система лінійних алгебраїчних рівнянь в результаті її розв’язку методом Жордана-Гаусса?

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь методом Жордана-Гаусcа

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи матрично-векторний метод Жордана-Гаусса