Знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод оберненої матриці

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з  невідомими :

Для зручності систему (1) запишемо у матрично-векторній формі , де – матриця, елементами якої є коефіцієнти при невідомих системи (1), – вектор-стовпець вільних членів, – вектор-стовпець невідомих. Далі, при умові, що визначник матриці відмінний від нуля (), переходимо до обчислення елементів оберненої матриці .

Зауваження: для знаходження оберненої матриці можна використовувати один з насутпних методів:

1. Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.
2. Знаходження оберненої матриці з допомогою алгебраїчних доповненень.
3. Обчислення елементів оберненої матриці з допомогою розв’язку відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Після цього, помножимо обидві частини рівняння (2) на знайдену обернену матрицю зліва. В результаті будемо мати: . Cкориставшиць асоціативною властивістю множення матриць, останнє рівняння перепишемо в насутпному вигляді: .

Далі, враховуючи що та , отримуємо формулу методу оберненої матриці (також відомий як матричний метод) для знаходження розв’язку системи (1):

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод оберненої матриці – приклад:

Знайти розв’язок СЛАР методом оберненої матриці:

Отже, для початку, запишем задану систему у матрично-векторінй формі:

Далі, виходячи з того, що розглянутий вище матричний метод вимагає знаходження оберненої матриці, то на першому кроці, для матриці коефіцієнтів при невідомих  обчислюємо визначник:

Оскільки він відмінний від нуля, то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розв’язок. На наступному кроці, приступимо до знаходження оберненої матриці. Для цього скористаємось другим з перерахованих вище методів, а саме методом алгебраїчних доповнень, та, слідуючи його алгоритму, до матриці коефіцієнтів знайдемо транспоновану матрицю, після чого для елементів отриманої матриці обчислимо алгебраїчні доповнення:

Після того, як алгебраїчні доповнення відомі, обернену матрицю знаходимо за наступною формулою:

Далі, скориставшись формулою (3) знаходимо розв’язок заданої системи рівнянь:

Тобто, .

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку СЛАР методом оберненої матриці