Розв'язок системи рівнянь методом оберненої матриці

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими :

Для зручності систему (1) запишемо у матрично-векторній формі , де – матриця, елементами якої є коефіцієнти при невідомих системи (1), – вектор-стовпець вільних членів, – вектор-стовпець невідомих. Далі, при умові, що визначник матриці відмінний від нуля (), переходимо до обчислення елементів оберненої матриці .

Зауваження: для знаходження оберненої матриці можна використовувати один з насутпних методів:

Після цього, помножимо обидві частини рівняння (2) на знайдену обернену матрицю зліва. В результаті будемо мати: . Cкориставшиць асоціативною властивістю множення матриць, останнє рівняння перепишемо в насутпному вигляді: .

Далі, враховуючи що та , отримуємо формулу методу оберненої матриці (також відомий як матричний метод) для знаходження розв’язку системи (1):

Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод оберненої матриці – приклад:

Знайти розв’язок СЛАР методом оберненої матриці:

Отже, для початку, запишем задану систему у матрично-векторінй формі:

Далі, виходячи з того, що розглянутий вище матричний метод вимагає знаходження оберненої матриці, то на першому кроці, для матриці коефіцієнтів при невідомих обчислюємо визначник:

Оскільки він відмінний від нуля, то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розв’язок. На наступному кроці, приступимо до знаходження оберненої матриці. Для цього скористаємось другим з перерахованих вище методів, а саме методом алгебраїчних доповнень, та, слідуючи його алгоритму, до матриці коефіцієнтів знайдемо транспоновану матрицю, після чого для елементів отриманої матриці обчислимо алгебраїчні доповнення: