Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з
невідомими
:
Для зручності систему (1) запишемо у матрично-векторній формі , де
– матриця, елементами якої є коефіцієнти при невідомих системи (1),
– вектор-стовпець вільних членів,
– вектор-стовпець невідомих. Далі, при умові, що визначник матриці
відмінний від нуля (
), переходимо до обчислення елементів оберненої матриці
.
Зауваження: для знаходження оберненої матриці можна використовувати один з насутпних методів:
- Знаходження оберненої матриці методом Гаусса.
- Знаходження оберненої матриці з допомогою алгебраїчних доповненень.
- Обчислення елементів оберненої матриці з допомогою розв’язку відповідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Після цього, помножимо обидві частини рівняння (2) на знайдену обернену матрицю зліва. В результаті будемо мати: . Cкориставшиць асоціативною властивістю множення матриць, останнє рівняння перепишемо в насутпному вигляді:
.
Далі, враховуючи що та
, отримуємо формулу методу оберненої матриці (також відомий як матричний метод) для знаходження розв’язку системи (1):
Розв’язок системи рівнянь використовуючи метод оберненої матриці – приклад:
Знайти розв’язок СЛАР методом оберненої матриці:
Отже, для початку, запишем задану систему у матрично-векторінй формі:
Далі, виходячи з того, що розглянутий вище матричний метод вимагає знаходження оберненої матриці, то на першому кроці, для матриці коефіцієнтів при невідомих обчислюємо визначник:
Оскільки він відмінний від нуля, то задана система рівнянь сумісна і має єдиний розв’язок. На наступному кроці, приступимо до знаходження оберненої матриці. Для цього скористаємось другим з перерахованих вище методів, а саме методом алгебраїчних доповнень, та, слідуючи його алгоритму, до матриці коефіцієнтів знайдемо транспоновану матрицю, після чого для елементів отриманої матриці обчислимо алгебраїчні доповнення:
Після того, як алгебраїчні доповнення відомі, обернену матрицю знаходимо за наступною формулою:
Далі, скориставшись формулою (3) знаходимо розв’язок заданої системи рівнянь:
Тобто, .