By | 30/08/2013

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Для того, щоб розв’язати систему (1) методом релаксації (даний метод, як і методи простої ітерації та метод Зейделя відносять до ітераційних чисельних методів) необхідно переписати систему у зручному для релаксації вигляді, а саме перенести вільні члени в ліву частину і кожне рівняння системи розділити на діагональний елемент . Тоді система (1) прийме наступний вигляд:

де при .

Після того, як ми отримали систему рівнянь (2) готову до релаксації, потрібно вибрати початкове наближення невідомих. Нехай це буде вектор . Підставляючи їх в (2), отримаємо нев’язки:

Далі, на кожному кроці потрібно перетворити в нуль максимальну по модулю нев’язку . А всі інші, потрібно збільшити на виличину , тобто:

Відмітимо, що даний процес необхідно продовжувати до тих пір поки на деякому кроці не отримаємо нев’язки, значення яких не досягнуть заданої точності, тобто . В такому випадку в якості наближених значень шуканих коренів приймається сума всіх приростів отриманих на кожній ітерації методу.

Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом релаксації – приклад:

Викристовуючи розглянутий алгоритм методу релаксації, знайти розв’язок наступної системи лінійних алгебраїчних рівнянь з точністю :

Отже, на першому кроці, запишемо дану систему у зручному для релаксації вигляді, а саме у вигляді (2):

Після цього, вибравши в якості початкового наближення до шуканого розв’язку вектор та скориставшись формулами (3), знаходимо вектор нев’язок :

Далі, перевіряємо чи для отриманого вектора нев’язок виконується умова зупинки . В результаті бачимо, що значення модуля всіх елементів вектора  являються більшими від заданого значення (). Тому, будемо покращувати рішення з метою зменшення нев’язок . Для цього, вибираємо одну з них, яка має найбільше по модулю значення. В нашому випадку такою являється нев’язка . Шляхом зміни значення відповідної змінної на величину , приведемо її до нуля. Тоді , а нев’язки, що залишились, розрахуємо за формулою (4):

Далі, аналогічним чином, знаходимо максимальну по модулю нев’язку і відповідній невідомій надаємо приріст . Тоді, , а нев’язки, що залишились знову-таки, розрахуємо за формулою (4):

Продовжуючи даний процес далі, на четвертій іткрації отримаємо значення, для яких умова зупинки виконується, тобто ітераційний процес метду релаксації на цьому завершується.

Далі, як уже зазначалось вище, просумувавши прирости отримані на кожній ітерації, знайдемо розв’язок заданої системи рівнянь:

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язоку системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом релаксації

Метод релаксації блок-схема

2 Replies to “Розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод релаксації”

  1. Софія

    Мені сподобалась тема, спосіб викладення і пояснення матеріалу, але є такі помилки в тексті як: провіряємо – перевіряємо, виличина – величина. Не те що це сильно впливає на сам матеріал, але набагато приємніше читати, коли таких помилок немає.
    Дякую за роботу)

  2. admin Автор

    Дякуємо за інформацію. Приносимо свої вибачення за те, що дані помилки не були виявлені та усунуті нами на стадії написання даного матеріалу.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*