Висота рівностороннього трикутника — це відрізок, який сполучає вершину трикутника з протилежною стороною. У рівносторонньому трикутнику висота має особливе значення: вона не лише є перпендикуляром до сторони, а й ділить цю сторону навпіл. Саме тому висота розбиває рівносторонній трикутник на два рівних прямокутних трикутники, а формулу для її знаходження зручно виводити за допомогою теореми Піфагора.
У цій публікації ми розглянемо, як знаходити висоту рівностороннього трикутника, як виводиться відповідна формула та як застосовувати її під час розв’язування практичних задач.
Висота Рівностороннього Трикутника: Основна Формула
Рівносторонній трикутник — це трикутник, у якого всі сторони мають однакову довжину. Якщо довжина сторони відома, то висоту такого трикутника можна знайти за формулою:
\[
BH=\frac{\sqrt{3}\cdot AB}{2}.
\]
Отже, щоб знайти висоту рівностороннього трикутника, достатньо знати довжину лише однієї його сторони.
Доведення формули
Як уже зазначалося, формулу висоти рівностороннього трикутника можна отримати за допомогою теореми Піфагора.
Нагадаємо, що за теоремою Піфагора сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Розглянемо трикутник \( ABC \). Оскільки він рівносторонній, то всі його сторони рівні. Крім того, висота \( BH \), проведена до сторони \( AC \), у такому трикутнику одночасно є і медіаною. А це означає, що вона ділить сторону \( AC \) на дві рівні частини. Тому
\[
AH=\frac{AB}{2}.
\]
Тепер розглянемо один із двох утворених прямокутних трикутників, наприклад \( ABH \). Для нього за теоремою Піфагора маємо:
\[
AB^2=AH^2+BH^2.
\]
Підставляємо \( AH=\frac{AB}{2} \):
\[
AB^2=\left(\frac{AB}{2}\right)^2+BH^2=\frac{AB^2}{4}+BH^2.
\]
Тепер виразимо з цього рівняння \( BH \):
\[
BH^2=AB^2-\frac{AB^2}{4},\qquad BH^2=\frac{3\cdot AB^2}{4},\qquad BH=\frac{\sqrt{3}\cdot AB}{2}.
\]
Таким чином, формулу для знаходження висоти рівностороннього трикутника доведено.
Зауваження. Якщо позначити довжину сторони трикутника через \( a \), а висоту — через \( h \), то формула набуде більш звичного вигляду:
\[
h=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2}.
\]
Висота Рівностороннього Трикутника: Приклади з Відповідями
Наведені нижче приклади розв’язуються за формулою висоти рівностороннього трикутника. Спробуйте спочатку виконати обчислення самостійно, а вже потім звірити їх із готовим розв’язком.
Приклад 1. Знайти висоту рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює \( 7 \) см
Використаємо формулу висоти при \( a=7 \):
\[
h=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot 7}{2}\approx 6.062.
\]
Отже, висота рівностороннього трикутника зі стороною \( 7 \) см дорівнює \( 6.062 \) см.
Приклад 2. Чому дорівнює висота рівностороннього трикутника зі стороною \( 9 \) см?
За умовою маємо \( a=9 \). Підставляємо це значення у формулу:
\[
h=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot 9}{2}\approx 7.794.
\]
Звідси висота рівностороннього трикутника дорівнює \( 7.794 \) см.
Приклад 3. Якщо висота рівностороннього трикутника дорівнює \( 6 \) см, яка довжина однієї з його сторін?
У цьому випадку відома висота, а потрібно знайти сторону. Беремо формулу
\[
h=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2}
\]
і виражаємо з неї \( a \):
\[
h=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2},\qquad 6=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2},\qquad 12=\sqrt{3}\cdot a,\qquad a\approx 6.928.
\]
Отже, довжина однієї зі сторін трикутника дорівнює \( 6.928 \) см.
Приклад 4. Чому дорівнює висота рівностороннього трикутника, якщо його периметр дорівнює \( 63 \) см?
Периметр — це сума довжин трьох сторін трикутника. Оскільки в рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, спочатку знайдемо довжину однієї сторони:
\[
a=\frac{63}{3}=21.
\]
Тепер підставляємо знайдене значення у формулу висоти:
\[
h=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot 21}{2}\approx 18.186.
\]
Таким чином, висота рівностороннього трикутника дорівнює \( 18.186 \) см.
Приклад 5. Знайти висоту рівностороннього трикутника, якщо його площа дорівнює \( 60\ \text{см}^2 \)
Тут не можна одразу підставити значення у формулу висоти, бо сторона трикутника поки що невідома. Тому спочатку знайдемо сторону через формулу площі рівностороннього трикутника:
\[
S=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}.
\]
Підставляємо задане значення площі:
\[
60=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4},\qquad 240=\sqrt{3}\cdot a^2,\qquad a\approx 11.771.
\]
Тепер, коли сторону вже знайдено, використовуємо формулу висоти:
\[
h=\frac{\sqrt{3}\cdot a}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot 11.771}{2}\approx 10.194.
\]
Отже, висота рівностороннього трикутника дорівнює \( 10.194 \) см.
Що Почитати Далі: Корисні Теми для Продовження
Хочете ще краще розібратися в темі рівностороннього трикутника? Тоді варто звернути увагу на суміжні матеріали. Вони допоможуть побачити цю фігуру ширше та краще зрозуміти її основні властивості.
- Рівносторонній трикутник: Означення та властивості — Дізнайтеся, які основні властивості має рівносторонній трикутник і чим він відрізняється від інших трикутників.
- Периметр рівностороннього трикутника: Формули та приклади — У цій темі показано, як обчислювати периметр рівностороннього трикутника за відомою довжиною сторони.
- Площа рівностороннього трикутника: Формули та приклади — Тут пояснюється, як знаходити площу рівностороннього трикутника та застосовувати відповідну формулу на практиці.
Висота і Код: Спробуйте Реалізувати Алгоритм Самостійно
Якщо вам цікаве не лише розв’язування геометричних задач, а й програмування, зверніть увагу на блок-схему нижче. Вона наочно показує, як математична формула перетворюється на простий і зрозумілий алгоритм, який легко реалізувати на будь-якій зручній для вас мові програмування. Чому б не використати цю схему як основу для власної невеликої програми? Така практика допомагає краще зрозуміти саму формулу висоти рівностороннього трикутника, побачити її застосування в обчисленнях і водночас зробити ще один крок у вивченні програмування.
