Знаходження розв’язку системи однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь

Нехай задана система однорідних рівнянь наступного вигляду:

або у векторно-матричній формі , де

Якщо визначник матриці коефіцієнтів  даної системи відмінний від нуля, то в силу формул Крамера система (1) має нульовий розв’язок (), і причому єдиний.

Якщо ж , то в цьому випадку система (1) має безліч розв’язків, в тому числі і ненульові. З (2) випливає, що якщо – розв’язок системи рівнянь (2) то , де – довільна стала, також є розв’язком цієї системи; якщо і – розв’язок системи (2), то сума  і  – також є розв’язком цієї системи.

Звідси випливає, що будь-яка лінійна комбінація розв’язків однорідної системи рівнянь (1) є також розв’язком цієї системи. Таким чином, сукупність всіх розв’язків однорідної системи (1), утворить векторний простір, який називається простором рішень (нуль-простором матриці ). Якщо – число невідомих однорідної системи (1) і – ранг її матриці , то розмірність простору рішень дорівнюватиме .

Базис простору рішень називається фундаментальною системою рішень. Якщо для системи (1) відома фундаментальна система рішень:

то всі її розв’язки містяться у формулі:

де – довільні числа.

Для знаходження фундаментальної системи рішень в матриці виділяють, відмінний від нуля, мінор -го порядку . Нехай:

Цього завжди можна добится шляхом перестановки рівнянь системи (1) і зміни нумерації її невідомих. Тоді можна легко довести, що рівняння системи (1) починаючи з -го, явлалась наслідками перших  рівнянь цієї системи, тобто, вони задовольняються, якщо будуть задовольняться  перших рівнянь системи (1). Тому досить розглянути підсистему (визначник якої відмінний від нуля):

В системі (5) значення невідомих можна вважати довільними. Розв’язавши систему рівнянь (5) щодо невідомих , отримаємо

де – сталі числа.

Формули (6) дають повну систему рішень рівняння (2). За фундаментальну систему рішень можна взяти:

Ці рішення можуть бути знайдені безпосередньо з системи (5), якщо в ній послідовно покладати

Розв’язок системи однорідних рівнянь – приклад:

Розв’язати однорідну систему рівнянь наступного виду:

Ранг матриці, що складається з коефіцієнтів однорідної системи дорівнює двом а число невідомих – трьом. Тому будь-яка фундаментальна система рішень цієї системи рівнянь складається з одного рішення. Розв’яжемо систему, обмежуючись першими двома рівняннями, вважаючи вільною невідомою. В результаті отримаємо:

Покладаючи, далі,  та підставляючи це значення в отримане на попередньому кроці загальне рішення як значення для вільної невідомої і обчислюючи значення для і , для заданої системи рівнянь, отримаємо таку фундаментальну систему рішень:

Блок-схема алгоритму знаходження розв’язку системи однорідних рівнянь