Перш ніж приступити до розгляду формули для обчислення визначників розмірність яких перевищує три, давайте пригадаємо, яким чином їх знаходять для матриць менших розмірностей. Отже, визначником матриці другого порядку називається число, яке записується і обчислюється наступним чином:

Визначник матриці 2х2

Тобто, від добутку елементів, що стоять на головній діагоналі, віднімається добуток елементів бічної дівгоналі.

Визначником матриці третього порядку називається число, яке зазвичай обчислюється за правилом трикутника, а саме: визначник третього порядку дорівнює сумі добутків елементів, що стоять на головній діагоналі, та двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін була паралельна головній діагоналі і всі елементи якого повинні бути у різних рядках та стовпцях. Після цього, від даної суми віднімається сума добутків елементів, що розташовані на бічній діагоналі та на двох трикутниках, які будуємо так, щоб одна із сторін трикутника була паралельна бічній діагоналі, та всі елементи були на різних рядках та стовпцях. Дане правило описується насутпною формулою:

Визначник матриці 3х3

Для обчислення визначників більш високих порядків, таких зручних та легких для запам’ятовування схем не існує. В такому випадку нам на допомогу прийде загальне правило обчислення визначника -го порядку, яке носить назву розклад визначника за рядком (стовпцем) і базується на таких поняттях, як мінор та алгебраїчне доповнення. Давайте розглянемо дані поняття бульш детально:

  1. Мінором елемента  називається визначник -го порядку, який утворюється з початкового визначника, шляхом закреслення рядка та стовпця, в яких міститься даний елемент.
  2. Алгебраїчне доповнення елемента  – це мінор даного елемента взятий зі знаком «+», якщо  являється парним число, і зі знаком «-» у протилежному випадку, тобто .

Після того, як визначення мінора та алгебраїчного доповнення нам відомі, давайте сформулюємо основну ідею правила розкладу визначника за рядком чи стовпцем.

Отже, визначник -го порядку дорівнює сумі  добутків елементів будь-якого його рядка чи стовпця, на їх алгебраїчні доповнення:

Визначник матриці nxn

Тобто, в результаті такого підходу обчислення визначника -го порядку, зводиться до обчислення декількох визначників-мінорів на одиницю меншого порядку. Дані визначники в свою чергу можна аналогічним чином виразити через мінори ще меншого порядку, продовжуючи даний процес до тих пір, поки не отримаємо мінори, обчислити які можна за явними формулами (1) або (2). Це наводить на думку, що при програмній реалізації даного методу, функція для обчислення мінорів будь-якого порядку, повинна працювати рекурсивно.

Зауваження: якщо деякі елементи рядка (стовпця) рівні нулю, то у формулі (3) потрібно обчислити не  визначників-мінорів -го порядку, а менше. Тому, на практиці, зазвичай, вибирають такий рядок (стовпець), у якому міститься найбільше нулів.

Визначник матриці – приклади обчислення:

Приклад 1: обчислити визначник матриці другого порядку:

Отже, скориставшись формулою (2), отримаємо:

Приклад 2обчислити визначник матриці третього порядку:

Скориставшись правилом трикутника, будемо мати:

Приклад 3: обчислити визначник матриці четвертого порядку:

Отже, скориставшись розглянутою вище схемою розкладемо визначник четвертого порядку за елементами четвертого стовпця (містить найбільшу кількість нулів). В результаті матимемо:

Блок-схема алгоритму обчислення визначника матриці другого порядку

Визначник матриці блок-схема

Блок-схема алгоритму обчислення визначника матриці третього порядку

Визначник матриці блок-схема

Блок-схема алгоритму розкладу визначника за першим рядком

Розкладу визначника за першим рядком блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*