Мітки: розв’язати систему рівнянь

Знаходження нормального псевдорозв’язку для систем з прямокутною або виродженою матрицею

При розгляді чисельних методів призначених для розв’язку систем рівнянь, завжди вважалось, що матриця коефіцієнтів при невідомих системи є квадратною, тобто з однаковою кількістю рядків і стовпців. Якщо, наприклад, кількість рядків (кількість рівнянь в системі) буде меншою, ніж кількість стовпців (фактично, кількості невідомих), то система буде невизначеною і всі точні та ітераційні методи рішення лінійних систем, являтимуться неефктивними. Тобто ми не зможемо однозначно визначити всі невідомі.

Але це не єдине обмеження. З векторної алгебри відомо, що система лінійних рівнянь має однозначне рішення тоді і тільки тоді, коли її головний визначник не дорівнює нулю. Що ж робити, коли він (визначник) все-таки дорівнює нулю?

З класичної точки зору, системи такого типу (з прямокутною, або квадратною але виродженою матрицею) розв’язків не мають, але для них вводять поняття узагальненого розв’язку (псевдорозв’язок). Розглянемо дане поняття більш детально.

Читати далі

Знаходження розв’язку системи однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь

Нехай задана система однорідних рівнянь наступного вигляду:

або у векторно-матричній формі , де

Якщо визначник матриці коефіцієнтів  даної системи відмінний від нуля, то в силу формул Крамера система (1) має нульовий розв’язок (), і причому єдиний.

Якщо ж , то в цьому випадку система (1) має безліч розв’язків, в тому числі і ненульові. З (2) випливає, що якщо розв’язок системи рівнянь (2) то , де – довільна стала, також є розв’язком цієї системи; якщо і – розв’язок системи (2), то сума  і  – також є розв’язком цієї системи.

Читати далі

Знаходження розв’язку системи лінійних рівнянь використовуючи метод оберненої матриці

Нехай маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з  невідомими :

Для зручності систему (1) запишемо у матрично-векторній формі , де – матриця, елементами якої є коефіцієнти при невідомих системи (1), – вектор-стовпець вільних членів, – вектор-стовпець невідомих. Далі, при умові, що визначник матриці відмінний від нуля (), переходимо до обчислення елементів оберненої матриці .

Читати далі

Розв’язок систем лінійних алгебраїчних рівнянь використовуючи метод релаксації

Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

Для того, щоб розв’язати систему (1) методом релаксації (даний метод, як і методи простої ітерації та метод Зейделя відносять до ітераційних чисельних методів) необхідно переписати систему у зручному для релаксації вигляді, а саме перенести вільні члени в ліву частину і кожне рівняння системи розділити на діагональний елемент . Тоді система (1) прийме наступний вигляд:

Читати далі