Розглянемо матрицю  розмірності . В даній матриці виділимо будь-яких  рядкуів і таку саму кількість стовпців. Відмітимо, що число  не повинно перевищувати загальну кількість рядків та стовпців заданої матриці, тобто . Визначник, який утворится з елементів, що стоять на перетині виділених  рядків та стовпців називається мінором -го порядку матриці . Найбільший з порядків відмінних від нуля мінорів називається рангом матриці . З даного означення випливають наступні властивості рангу:

  1. Ранг прямокутної матриці розмірності  не перевищує меншого із двох чисел і , тобто .
  2. Ранг матриці дорівнює нулю () тоді і тільки тоді, коли матриця нульова. В інших випадках ранг матриці рівний деякому додатному числу.
  3. Для квадратної матриці -го порядку ранг дорівнює  тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена, тобто коли її визначник відмінний від нуля.

Серед методів обчислення рангу матриці виділяють два: метод обвідних мінорів і, такзваний, метод елементарних перетворень. Розглянемо, для початку, алгоритм першого з них.

Отже, на першому кроці, знаходимо будь-який, відмінній від нуля, мінор першого порядку (). Якщо такого мінора немає, то матриця являється нульовою і, як зазначалося вище, ранг такої матриці рівний нулю. Якщо ж серед мінорів першого порядку існує хоча б один відмінний від нуля, то переходимо до дослідження мінорів другого порядку, які містять в собі  (обводять ) і робимо це до тих пір, поки не знайдем мінор відмінний від нуля. Якщо такого мінора немає, то . В іншому випадку, досліджуємо мінори третього, четвертого і так далі порядків і таким чином переходимо до обчислення, якщо вони існують, мінорів -го порядку, які обводять мінор . Якщо таких мінорів немає, або вони всі дорівнюють нулю, то . Якщо ж хоча б один мінор , то , тобто ітераційний процес методу обвідних мінорів необхідно продовжувати далі.

Відмітимо, що такий підхід для обчислення рангу матриці не завжди зручний – пов’язаний з обчисленнм значної кількості визнаників-мінорів. Простішим способом обчислення рангу являється алгоритм методу елементарних перетворень. Даний метод базується на твердженні, що ранг матриці не зміниться, якщо над нею виконати такзвані елементарні перетворення. Нагадаємо, що елементарними перетвореннями матриці називаються такі операції:

  1. перестановка місцями довільних два рядки або стовпці;
  2. множення кожного елемента довільного рядка чи стовпця на один і той самий відмінний від нуля множник;
  3. додавання до елементів довільного рядка чи стовпця відповідних елементів іншого рядка чи стовпця, помножених на одне і теж, відмінне від нуля, число;
  4. викреслювання рядка чи стовпця, який містить лише нульові елементи.

Тобто, суть даного методу полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень матриця  приводиться до східчастого вигляду, після чого підраховується число її ненульових рядкув. Дане число і буде рангом матриці .

Ранг матриці – приклади обчислення:

Приклад 1: використовуючи методо обвідних мінорів, знайти ранг матриці наступного вигляду:

Отже, оскільки для матриці  існують мінори першого порядку, відмінні від нуля, наприклад, , то її ранг може бути рівним одиниці. Обводячи його за допомогою другого рядка і пешого стовпця отримаємо мінор другого порядку  також відмінний від нуля:

На наступному кроці, переходимо до мінорів третього порядку, що обводять . В нашому випадку таких мінорів є усього шість:

Обчисливши їх бачимо, що всі вони виявилися такими, що дорівнюють нулю. Звідси приходимо до висновку, що ранг матриці дорівнює двом.

Приклад 2: для розглядуваної в попередньому прикладі матриці , знайти ранг, використовуючи метод елементарних перетворень.

Отже, на першому кроці, поміняємо місцями перший та четвертий рядки заданої матриці. Після цього, елементи першого рядка розділимо на -2 та від другого та третього рядків віднімемо перший помножений на 2 та -4 відповідно. В результаті, матриця  прийме наступного вигляду:

На наступному кроці, елементи другого рядка розділимо на -3, після чого, від третього та четвертого рядків віднімемо другий помножений на 3 та -1 відповідно. В результаті отримаємо матрицю, два перших рядки якої містять відмінні від нуля елементи і два що залишились – являються нульовими.

Таким чином, використовуючи метод елементарних перетворень ми отримали аналогічний результат, тобто ранг заданої матриці дорівнює двом.

Блок-схема алгоритму обчислення рангу матриці методом обвідних мінорів

Ранг матриці блок-схема

Блок-схема алгоритму обчислення рангу матриці методом елементарних перетворень

Ранг матриці блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*