Модуль і аргумент комплексного числа

Модуль комплексного числа.

Як відомо, комплексному числу  відповідає точка  комплексної площини. З’єднаємо точку  з початком координат . Часто комплексне число геометрично задають за допомогою радіус-вектора .

Зображення комплексного числа у вигляді радіус-вектора

Довжина вектора , що зображає комплексне число , називається модулем цього числа і позначається  або . Оскільки , то .

Тобто модуль комплексного числа дорівнює арифметичному значенню квадратного кореня з суми квадратів його дійсної і уявної частин.

Скориставшись формулою, що визначає правило множення двох комплексних чисел, неважко помітити, що  і .

Модулі комплексно спряжених чисел рівні

Якщо комплексне число є дійсним, тобто , то отримаємо . Отже, поняття модуля дійсного числа є окремим випадком більш загального поняття модуля комплексного числа, яке має ті ж властивості, що і модуль дійсного числа.

Зображення суми та різниці комплексних чисел

Безпосередньо з рисунка що міститься вище помічаємо, що

Відзначимо, що

Тобто модуль різниці двох комплексних чисел дорівнює відстані  між точками  і  комплексної площини.

Аргумент комплексного числа.

Величина кута між додатним напрямом дійсної осі і вектором, що зображає комплексне число, називається аргументом цього комплексного числа, позначається  (від французького argument – аргумент) або .

Модуль і аргумент комплексного числа

Аргумент не визначений лише для числа, модуль якого дорівнює нулю.

Аргумент комплексного числа  визначений неоднозначно: якщо – аргумент числа, то  також аргумент числа  для будь-якого .

Для однозначності визначення його значення беруть з проміжку , позначають  () і називають головним значенням аргументу (іноді як головне значення аргументу беруть величину, що належить проміжку ) .Таким чином

Модуль комплексного числа – розв’язання прикладів.

Приклад 1: знайти модуль комплексного числа .

Отже, дійсною частиною комплексного числа є число . Уявною частиною – . Таким чином, модуль заданого числа  – це вираз:

Приклад 2: знайти добуток модулів комплексних чисел  і .

Модуль комплексного числа  дорівнює . Модуль комплексного числа  – .

Отже, добуток модулів дорівнює:

Приклад 3: знайти відстань між числами  і  на комплексній площині.

Як зазначалося вище, відстань між двома комплексними числами обчислюється як модуль різниці цих комплексних чисел. Отже, застосовуючи відповідну формулу, отримуємо:

Таким чином, відстань між комплексними числами  і  дорівнює .

Приклад 4: знайти комплексне число , якщо .

Отже, нехай  – шукане комплексне число. Тоді, за умовою, . Звідси,  і . Таким чином, отримаємо рівняння:

За умовою рівності комплексних чисел матимемо:

Розв’язавши отриману систему, знаходимо:

Отже, умові  задовольняють комплексні числа  і .

Приклад 5: знайти комплексне число , яке задовольняє умовам:

Отже, для початку, перепишемо дані рівності у наступному вигляді:

Припускаючи далі, що  – шукане комплексне число, співвідношення (6) перепишеться в наступному вигляді: .

Обчислюючи модулі комплексних чисел у лівій та правій частинах останньої рівності та підносячи обидві частини до квадрату, отримаємо:

Після спрощень це співвідношення набуде вигляду:

За геометричним змістом комплексного числа та його модуля, множина точок , що задовольняють умові (7) – серединний перпендикуляр до відрізка , де .

Оскільки серединою відрізка є точка , то рівняння цієї прямої в площині  буде  (бо належить осі абсцис). Тоді ці комплексні числа мають вигляд . Підставивши у співвідношення (8), отримаємо квадратне рівняння , коренями якого є числа  і .

Отже, заданим умовам задовольняють комплексні числа  та .

Запитання для самоперевірки на тему модуль і аргумент комплексного числа.

1. Що таке модуль і аргумент комплексного числа?
2. Як знайти мокуль комплексного числа ?
3. Чи можуть бути модулем комплексного числа одночасно числа  та ?
4. Чи можуть бути аргументом комплексного числа одночасно кути і ?
5. Як зміняться модуль і аргумент комплексного числа в результаті ділення цього числа на  та ?

Блок-схема алгоритму знаходження модуля комплексного числа.