Модуль і аргумент комплексного числа

Як відомо, комплексному числу z = x + i * y відповідає точка M(x, y) комплексної площини. З’єднаємо точку M з початком координат O. Часто комплексне число z = x + i * y геометрично задають за допомогою радіус-вектора r = OM.

Зображення комплексного числа геометрично

Зображення комплексного числа у вигляді радіус-вектора

Довжина вектора r, що зображає комплексне число z, називається модулем цього числа і позначається |z| або r. Оскільки , то Модуль комплексного числа формула.

Тобто модуль комплексного числа дорівнює арифметичному значенню квадратного кореня з суми квадратів його дійсної і уявної частин.

Скориставшись формулою, що визначає правило множення двох комплексних чисел, неважко помітити, що  і .

Модуль комплексного числа графік

Модулі комплексно спряжених чисел рівні

Якщо комплексне число z = x + i * y є дійсним, тобто , то отримаємо . Отже, поняття модуля дійсного числа є окремим випадком більш загального поняття модуля комплексного числа, яке має ті ж властивості, що і модуль дійсного числа.

Додавання комплексних чисел, віднімання комплексних чисел

Зображення суми та різниці комплексних чисел

Безпосередньо з рисунка що міститься вище помічаємо, що

Відзначимо, що

Тобто модуль різниці двох комплексних чисел дорівнює відстані d між точками z1 = x1 + i * y1 і z2 = x2 + i * y2 комплексної площини.

Величина кута між додатним напрямом дійсної осі і вектором, що зображає комплексне число, називається аргументом цього комплексного числа, позначається Arg z (від французького argument – аргумент) або φ.

Аргумент комплексного числа

Модуль і аргумент комплексного числа

Аргумент не визначений лише для числа, модуль якого дорівнює нулю.

Аргумент комплексного числа z ≠ 0 визначений неоднозначно: якщо φ – аргумент числа, то φ + 2 * π * k також аргумент числа z для будь-якого .

Для однозначності визначення φ його значення беруть з проміжку (-π, π], позначають arg z (-π < argz <= π) і називають головним значенням аргументу (іноді як головне значення аргументу беруть величину, що належить проміжку [0, 2 * π)) .Таким чином

Аргумент комплексного числа формула

Приклад 1: знайти модуль комплексного числа z = -3 + 9 * i.

Отже, дійсною частиною комплексного числа z є число x = -3. Уявною частиною – y = 9. Таким чином, модуль заданого числа z – це вираз:

Модуль комплексного числа z = -3 + 9 * i

Приклад 2: знайти добуток модулів комплексних чисел z1 = 9 * i і z2 = 1 + i.

Модуль комплексного числа z1 дорівнює Модуль комплексного числа z1 = 9 * i. Модуль комплексного числа z2 – Модуль комплексного числа z2 = 1 + i.

Отже, добуток модулів дорівнює:

r1 * r2 = 12.7279;

Приклад 3: знайти відстань між числами z1 = 1 - 3 * i і z2 = -2 + 2 * i на комплексній площині.

Як зазначалося вище, відстань між двома комплексними числами обчислюється як модуль різниці цих комплексних чисел. Отже, застосовуючи відповідну формулу, отримуємо:

Таким чином, відстань між комплексними числами z1 і z2 дорівнює .

Приклад 4: знайти комплексне число z, якщо .

Отже, нехай z = x + i * y – шукане комплексне число. Тоді, за умовою, z + 3 * i = x + (y + 3) * i. Звідси,  і . Таким чином, отримаємо рівняння:

За умовою рівності комплексних чисел матимемо:

Розв’язавши отриману систему, знаходимо:

x1 = -1; x2 = 2; y = -2;

Отже, умові  задовольняють комплексні числа z1 = -1 - 2 * i і z2 = 2 - 2 * i.

Приклад 5: знайти комплексне число z, яке задовольняє умовам:

Отже, для початку, перепишемо дані рівності у наступному вигляді:

3 * |z - 12| = 5 * |z - 8 * i| (6) |z - 4| = |z - 8| (7)

Припускаючи далі, що z = x + i * y – шукане комплексне число, співвідношення (6) перепишеться в наступному вигляді: 3 * |(x - 12) + i * y| = 5 * |x + i * (y - 8)|.

Обчислюючи модулі комплексних чисел у лівій та правій частинах останньої рівності та підносячи обидві частини до квадрату, отримаємо:

Після спрощень це співвідношення набуде вигляду:

За геометричним змістом комплексного числа та його модуля, множина точок z, що задовольняють умові (7) – серединний перпендикуляр до відрізка AB, де A(4, 0), B(8, 0).

Оскільки серединою відрізка AB є точка C(6, 0), то рівняння цієї прямої в площині XOY буде x = 6 (бо AB належить осі абсцис). Тоді ці комплексні числа мають вигляд z = 6 + i * y. Підставивши x = 6 у співвідношення (8), отримаємо квадратне рівняння y^2 - 25 * y + 136 = 0, коренями якого є числа y1 = 17 і y2 = 8.

Отже, заданим умовам задовольняють комплексні числа z1 = 6 + 17 * i та z2 = 6 + 8 * i.

  1. Що таке модуль і аргумент комплексного числа?
  2. Як знайти мокуль комплексного числа z = x + i * y?
  3. Чи можуть бути модулем комплексного числа одночасно числа r та -r?
  4. Чи можуть бути аргументом комплексного числа одночасно кути φ і -φ?
  5. Як зміняться модуль і аргумент комплексного числа в результаті ділення цього числа на i та -i?

Блок-схема алгоритму знаходження модуля комплексного числа.

Модуль комплексного числа блок-схема

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*