Арифметичні дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

Сума, різниця, добуток і частка двох комплексних чисел z1 = x1 + i * y1 і z2 = x2 + i * y2 визначаються таким чином:

Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі

Формула (1) визначає правило додавання двох комплексних чисел: щоб додати два комплексні числа, необхідно окремо додати їх дійсні і уявні частини. Додавання комплексних чисел володіє комутативною і асоціативною властивостями:

Додавання комплексних чисел властивості

Формула (2) означає, що при відніманні одного комплексного числа від іншого необхідно відняти окремо їх дійсні і уявні частини.

Формулу (3) можна отримати шляхом множення за правилами алгебри з подальшою заміною i^2 на (-1):

Множення комплексних чисел формула

Множення комплексних чисел володіє комутативною, асоціативною і дистрибутивною властивостями:

Множення комплексних чисел властивості

У цьому легко переконатися, використовуючи формулу (3).

Щоб отримати формулу (4), необхідно чисельник і знаменник заздалегідь помножити на x2 - i * y2 (число, спряжене до числа x2 + i * y2):

Ділення комплексних чисел формула

Поклавши в цій формулі x1 = 1 і y1 = 0, отримаємо:

Цією формулою визначається число z2^(-1), обернене числу z2 = x2 + i * y2z2 ≠ 0, тобто, x2^2 + y2^2 ≠ 0.

Якщо в сумі, різниці, добутку і частці комплексних чисел кожне число замінити спряженим з ним, то і результати заміняться на спряжені з ними числами:

Звідси витікає наступне корисне правило: якщо у виразі, складеному з комплексних чисел, над якими проводяться арифметичні дії, кожне комплексне число замінити спряженим з ним, то і значення всього виразу заміниться на спряжене.

Приклад 1: нехай дано два комплексні числа z1 = 1 + 3 * i і z2 = 2 + i. Знайти їх суму, різницю, добуток, частку і z2^(-1).

Отже, відповідно до формул (1) – (5) матимемо:

Приклад 2: відомо, що комплексні числа z1 і z2 дорівнюють 3 + i та 2 * i відповідно. Знайти  і .

Знову-таки, скориставшись правилом ділення комплексних чисел будемо мати:

Приклад 3: розв’язати рівняння (2 - i) * x + (5 + 6 * i) * y = 1 - 3 * i відносно дійсних змінних x і y.

Ліву частину рівняння можна розглядати, як деяке невідоме комплексне число. Звівши його до вигляду a + b * i отримаємо рівняння, рівносильне даному:

Так як два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні і уявні частини, приходимо до системи:

Розв’язавши цю систему, отримаємо: x = 21 / 17y = -5 / 17.

  1. Як виглядає алгебраїчнa формa комплексного числа?
  2. Сформулюйте правило додавання комплексних чисел в алгебраїчній формі.
  3. Сформулюйте правило віднімання комплексних чисел в алгебраїчній формі.
  4. Сформулюйте правило множення комплексних чисел в алгебраїчній формі.
  5. Чому дорівнює добуток комплексного числа і його спряженого?
  6. Сформулюйте правило ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі.
  7. В який спосіб одне комплексне число в алгебраїчній формі ділиться на інше?

Дії над комплексними числами в алгебраїчній формі блок-схема.

Дії над комплексними числами блок-схема

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*