Піднесення комплексного числа до степеня і добування квадратного кореня з комплексного числа

Як піднести до степеня комплексне число.

Якщо комплексне число  є співмножником  раз, то добуток  називають -м степенем числа і позначають , тобто за означенням маємо:

Для  вважають . При піднесенні комплексного числа до степеня з цілим показником правильними являються наступні властивості:

де  і  – цілі числа.

Розглянемо, як виражаються цілі додатні степені уявної одиниці . За означенням . Далі, відомо, що . Тому , , , , ,  і так далі. У загальному вигляді отриманий результат можна записати так:

Зауваження: при піднесенні комплексного числа  до другого і третього степеня також користуються формулами  (квадрат суми або різниці) та  (куб суми або різниці), а при піднесенні до степеня () – біномом Ньютона (4) і формулами (3).

Добування квадратного кореня з комплексного числа.

Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке комплексне число , що  ().

Таким чином, добування кореня визначається як дія, обернена до дії піднесення до степеня.

Визначимо, наприклад, квадратний корінь з комплексного числа , де  і  – дійсні числа. Вважаючи, що , згідно з рівністю (5), маємо  або .

Далі, скориставшись означенням про рівність комплексних чисел, а саме два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні і уявні частини, дістанемо систему двох рівнянь:

Піднесемо до квадрату кожне рівняння цієї системи і додамо їх:

З останньої рівності та рівняння  знаходимо  та :

З рівнянь (7) знаходимо два значення , які відрізняються тільки знаком, а також два значення :

Зазначимо, що всі знайдені значення, в даному випадку, будуть дійсними, тому що вирази  і  при будь-яких та є додатними.

Знаки  і  слід вибрати так, щоб ці числа задовольняли другому рівнянню системи (6). В результаті отримаємо два комплексні числа  i і , які мають протилежні знаки і є значеннями квадратного кореня з комплексного числа .

Таким чином, добування квадратного кореня з комплексного числа завжди можливе і дає два значення, які відрізняються тільки знаками. Оскільки , то . Зокрема, .

Комплексні числа – піднесення до степеня та добування кореня приклади.

Приклад 1: обчислити .

Отже, відповідно до формул (3) матимемо:

Приклад 2: обчислити значення виразу .

Використовуючи формулу квадрата суми та формулу куба різниці двох чисел, будемо мати:

Приклад 3: добути квадратний корінь з комплексного числа .

Отже, як зазначалося вище, , де  та  невідомі величини. Скориставшись формулами (8) обчислимо їх значення. В результаті матимемо:

Припустимо далі, що . Так як,  (друге рівняння системи (6)) то . Тобто, один з двох коренів дорівнює . Другий корінь протилежний першому.

Такми чином, .

Приклад 4: розв’язати рівняння .

Для початку, скориставшись формулою коренів квадратного рівняння отримаємо:

На наступному кроці, добудемо квадратний корінь з комплексного числа . В результаі матимемо: . Отже,

Приклад 5: розв’язати рівняння .

Скориставшись формулою  (різниця кубів) розкладемо ліву частину заданого рівняння на множники. В результаті будемо мати: . Звідси отримаємо, що  і .

Використовуючи далі формулу (9), знаходимо:

Отже, ,  і .

Запитання для самоперевірки на тему піднесення до степеня та добування кореня з комплексного числа.

1. Що називають -м степенем комплексного числа ?
2. За якою формулою здійснюється піднесенні комплексного числа  до другого степеня?
3. Якою формулою користуються при піднесенні комплексного числа  до третього степеня?
4. Запишіть властивості, яким задовільняє операція піднесення комплексного числа до степеня.
5. За якими формулами виражаються цілі додатні степені уявної одиниці?
6. За якими формулами обчислюється квадратний корінь з комплексного числа?
7. Чому дорівнює корінь квадратний із уявної одиниці?

Піднесення до степеня та добування квадратного кореня з комплексного числа блок-схема.