Піднесення комплексного числа до степеня і добування квадратного кореня з комплексного числа

Якщо комплексне число z є співмножником n раз, то добуток  називають n-м степенем числа z і позначають z^n, тобто за означенням маємо:

Комплексне число в степені n

Для z ≠ 0 вважають z^(-n) = 1 / z^n. При піднесенні комплексного числа до степеня з цілим показником правильними являються наступні властивості:

Піднесення комплексного числа до степеня властивості

де p і q – цілі числа.

Розглянемо, як виражаються цілі додатні степені уявної одиниці i. За означенням i^0 = 1, i^1 = i. Далі, відомо, що i^2 = -1. Тому i^3 = i^2 * i = -1i^4 = i^3 * i = 1i^5 = i^4 * i = ii^6 = i^5 * i = -1i^7 = i^6 * i = -1i^8 = i^7 * i = 1 і так далі. У загальному вигляді отриманий результат можна записати так:

Уявна одиниця степені

Зауваження: при піднесенні комплексного числа x + i * y до другого і третього степеня також користуються формулами Комплексне число в квадраті (квадрат суми або різниці) та Комплексне число в кубі (куб суми або різниці), а при піднесенні до степеня n (n ∈ N) – біномом Ньютона (4) і формулами (3).

Піднесення комплексного числа до степеня n

Коренем n-го степеня з комплексного числа z називається таке комплексне число , що w^n = z ().

Таким чином, добування кореня визначається як дія, обернена до дії піднесення до степеня.

Визначимо, наприклад, квадратний корінь з комплексного числа a + b * i, де a і b – дійсні числа. Вважаючи, що , згідно з рівністю (5), маємо  або .

Далі, скориставшись означенням про рівність комплексних чисел, а саме два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні і уявні частини, дістанемо систему двох рівнянь:

Піднесемо до квадрату кожне рівняння цієї системи і додамо їх:

З останньої рівності та рівняння x^2 - y^2 = a знаходимо x^2 та y^2:

З рівнянь (7) знаходимо два значення x, які відрізняються тільки знаком, а також два значення :

Корінь квадратний з комплексного числа формули

Зазначимо, що всі знайдені значення, в даному випадку, будуть дійсними, тому що вирази  і  при будь-яких a та b є додатними.

Знаки x і  слід вибрати так, щоб ці числа задовольняли другому рівнянню системи (6). В результаті отримаємо два комплексні числа x1 + y1 * i i і x2 + y2 * i, які мають протилежні знаки і є значеннями квадратного кореня з комплексного числа a + b * i.

Таким чином, добування квадратного кореня з комплексного числа завжди можливе і дає два значення, які відрізняються тільки знаками. Оскільки , то . Зокрема, .

Приклад 1: обчислити i^233, i^102, i^67, i^516.

Отже, відповідно до формул (3) матимемо:

i^233 = i; i^102 = -1; i^67 = -i; i^516 = 1;

Приклад 2: обчислити значення виразу z = ((1 + 2 * i)^2 - (2 - i)^3) / ((1 - i)^3 + (2 + i)^2).

Використовуючи формулу квадрата суми та формулу куба різниці двох чисел, будемо мати:

z = 5 + 5 * i;

Приклад 3: добути квадратний корінь з комплексного числа z = 3 + 4 * i.

Отже, як зазначалося вище, , де x та  невідомі величини. Скориставшись формулами (8) обчислимо їх значення. В результаті матимемо:

Припустимо далі, що x = 2. Так як, 2 * x * y = 4 (друге рівняння системи (6)) то y = 1. Тобто, один з двох коренів дорівнює 2 + i. Другий корінь протилежний першому.

Такми чином, .

Приклад 4: розв’язати рівняння (2 + i) * x^2 - (5 - i) * x + (2 - 2 * i) = 0.

Для початку, скориставшись формулою коренів квадратного рівняння отримаємо:

На наступному кроці, добудемо квадратний корінь з комплексного числа -2 * i. В результаі матимемо: . Отже,

x1 = 1 - i; x2 = 0.8 - 0.4 * i;

Приклад 5: розв’язати рівняння x^3 - 8 = 0.

Скориставшись формулою a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + a * b + b^2) (різниця кубів) розкладемо ліву частину заданого рівняння на множники. В результаті будемо мати: (x - 2) * (x^2 + 2 * x + 4) = 0. Звідси отримаємо, що x1 = 2 і x^2 + 2 * x + 4 = 0.

Використовуючи далі формулу (9), знаходимо:

Отже, x1 = 2 і .

  1. Що називають n-м степенем комплексного числа z?
  2. За якою формулою здійснюється піднесенні комплексного числа  до другого степеня?
  3. Якою формулою користуються при піднесенні комплексного числа  до третього степеня?
  4. Запишіть властивості, яким задовільняє операція піднесення комплексного числа до степеня.
  5. За якими формулами виражаються цілі додатні степені уявної одиниці?
  6. За якими формулами обчислюється квадратний корінь з комплексного числа?
  7. Чому дорівнює корінь квадратний із уявної одиниці?

Піднесення до степеня та добування квадратного кореня з комплексного числа блок-схема.

Корінь з комплексного числа блок-схема, піднесення комплексного числа до степеня блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*