Навігація по сторінці.
- Як піднести до степеня комплексне число.
- Добування квадратного кореня з комплексного числа.
- Комплексні числа – піднесення до степеня та добування кореня приклади.
- Запитання для самоперевірки на тему піднесення до степеня та добування кореня з комплексного числа.
- Піднесення до степеня та добування квадратного кореня з комплексного числа блок-схема.
Як піднести до степеня комплексне число.
Якщо комплексне число є співмножником раз, то добуток називають -м степенем числа і позначають , тобто за означенням маємо:
Для вважають . При піднесенні комплексного числа до степеня з цілим показником правильними являються наступні властивості:
де і – цілі числа.
Розглянемо, як виражаються цілі додатні степені уявної одиниці . За означенням . Далі, відомо, що . Тому , , , , , і так далі. У загальному вигляді отриманий результат можна записати так:
Зауваження: при піднесенні комплексного числа до другого і третього степеня також користуються формулами (квадрат суми або різниці) та (куб суми або різниці), а при піднесенні до степеня () – біномом Ньютона (4) і формулами (3).
Добування квадратного кореня з комплексного числа.
Коренем -го степеня з комплексного числа називається таке комплексне число , що ().
Таким чином, добування кореня визначається як дія, обернена до дії піднесення до степеня.
Визначимо, наприклад, квадратний корінь з комплексного числа , де і – дійсні числа. Вважаючи, що , згідно з рівністю (5), маємо або .
Далі, скориставшись означенням про рівність комплексних чисел, а саме два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні і уявні частини, дістанемо систему двох рівнянь:
Піднесемо до квадрату кожне рівняння цієї системи і додамо їх:
З останньої рівності та рівняння знаходимо та :
З рівнянь (7) знаходимо два значення , які відрізняються тільки знаком, а також два значення :
Зазначимо, що всі знайдені значення, в даному випадку, будуть дійсними, тому що вирази і при будь-яких та є додатними.
Знаки і слід вибрати так, щоб ці числа задовольняли другому рівнянню системи (6). В результаті отримаємо два комплексні числа i і , які мають протилежні знаки і є значеннями квадратного кореня з комплексного числа .
Таким чином, добування квадратного кореня з комплексного числа завжди можливе і дає два значення, які відрізняються тільки знаками. Оскільки , то . Зокрема, .
Комплексні числа – піднесення до степеня та добування кореня приклади.
Приклад 1: обчислити .
Отже, відповідно до формул (3) матимемо:
Приклад 2: обчислити значення виразу .
Використовуючи формулу квадрата суми та формулу куба різниці двох чисел, будемо мати:
Приклад 3: добути квадратний корінь з комплексного числа .
Отже, як зазначалося вище, , де та невідомі величини. Скориставшись формулами (8) обчислимо їх значення. В результаті матимемо:
Припустимо далі, що . Так як, (друге рівняння системи (6)) то . Тобто, один з двох коренів дорівнює . Другий корінь протилежний першому.
Такми чином, .
Приклад 4: розв’язати рівняння .
Для початку, скориставшись формулою коренів квадратного рівняння отримаємо:
На наступному кроці, добудемо квадратний корінь з комплексного числа . В результаі матимемо: . Отже,
Приклад 5: розв’язати рівняння .
Скориставшись формулою (різниця кубів) розкладемо ліву частину заданого рівняння на множники. В результаті будемо мати: . Звідси отримаємо, що і .
Використовуючи далі формулу (9), знаходимо:
Отже, , і .
Запитання для самоперевірки на тему піднесення до степеня та добування кореня з комплексного числа.
- Що називають -м степенем комплексного числа ?
- За якою формулою здійснюється піднесенні комплексного числа до другого степеня?
- Якою формулою користуються при піднесенні комплексного числа до третього степеня?
- Запишіть властивості, яким задовільняє операція піднесення комплексного числа до степеня.
- За якими формулами виражаються цілі додатні степені уявної одиниці?
- За якими формулами обчислюється квадратний корінь з комплексного числа?
- Чому дорівнює корінь квадратний із уявної одиниці?