Навігація по сторінці.
- Тригонометрична форма комплексного числа.
- Показникова форма запису комплексного числа.
- Показникова і тригонометрична форма комплексного числа приклади.
- Запитання для самоперевірки на тему тригонометрична та показникова форми комплексного числа.
- Блок-схема алгоритму знаходження аргументу комплексного числа.
Тригонометрична форма комплексного числа.
Нехай задано комплексне число . Як відомо, його можна зобразити на комплексній площині точкою, абсциса якої дорівнює дійсній частині цього числа, тобто
, а ордината – уявній частині
.
Модуль і аргумент комплексного числа
Абсцису та ординату
комплексного числа можна виразити через його модуль
та аргумент
наступним чином:
Зазначимо, що в такому разі, комплексне число можна записати у наступному вигляді:
Рівність (1) називається тригонометричною формою комплексного числа .
Як відомо, (де
). Виходячи з того, що число
є періодом для функцій
та
, тобто
і
, випливає, що
і
.
Тому, при переході від алгебраїчної до тригонометричної форми комплексного числа, достатньо визначити лише головне значення аргументу цього комплексного числа, тобто вважати .Так як
, то з формули
отримаємо, що
Зауваження: два комплексних числа, заданих в тригонометричній формі, рівні тоді і тільки тоді, коли їх модулі рівні, а аргументи відрізняються на величину, кратну . Тобто
якщо
і
(де
).
Показникова форма запису комплексного числа.
Введемо далі наступні позначення:
Зазначимо, що співвідношення (3) називаються формулами Ейлера.
Тоді тригонометрична форма комплексного числа (1) може бути зображена у показниковій формі:
де ,
.
Показникова і тригонометрична форма комплексного числа приклади.
Приклад 1: записати у тригонометричній та показниковій формах комплексне число .
Комплексне число подано у алгебраїчній формі, значить
і
. Щоб записати його у тригонометричній або показниковій формах слід визначити модуль та аргумент комплексного числа.
Отже, згідно з формулою маємо:
Оскільки і
, то за формулою (2) отримаємо:
Звідси, комплексне число має наступну тригонометричну та показникову форми:
Приклад 2: визначити, чи рівні між собою комплексні числа і
.
Отже, запишемо комплексне число в тригонометричній формі. Для цього, знайдемо модуль
та аргумент
цього числа:
Таким чином
Звідси, дані комплексні числа рівні між собою.
Приклад 3: записати у тригонометричній формі комплексне число .
Зазначимо, що за зовнішнім виглядом запису числа може скластися враження, що воно вже записано у тригонометричній формі.
Але, якщо придивитися уважно, то можна помітити, що його вигляд відрізняється від форми (1). У заданого числа у якості стоїть від’ємне число, що неможливо.
Отже, перепишемо число у наступному вигляді:
Далі, знайдемо модуль та аргумент
цього числа:
Таким чином, тригонометрична форма комплексного числа має наступний вигляд:
Запитання для самоперевірки на тему тригонометрична та показникова форми комплексного числа.
- Що називають дійсною та уявною частинами комплексного числа?
- Як комплексне число
зображується на площині
?
- За якими формулами обчислюється модуль, аргумент комплексного числа?
- Записати комплексне число
в тригонометричній формі?
- Запишіть умову рівності двох комплексних чисел у тригонометричній формі.
- Що називають формулами Ейлера?
- Подати комплексне число
в показниковій формі?