Тригонометрична та показникова форми комплексного числа

Нехай задано комплексне число z = x + i * y. Як відомо, його можна зобразити на комплексній площині точкою, абсциса якої дорівнює дійсній частині цього числа, тобто x, а ордината – уявній частині y.

Модуль і аргумент комплексного числа

Абсцису x та ординату y комплексного числа можна виразити через його модуль  та аргумент φ наступним чином:

Зазначимо, що в такому разі, комплексне число z можна записати у наступному вигляді:

Тригонометрична форма комплексного числа

Рівність (1) називається тригонометричною формою комплексного числа z.

Як відомо, φ = Arg z = arg z + 2 * π * k (де k ∈ Z). Виходячи з того, що число  2 * π * k є періодом для функцій sin(φ) та cos(φ), тобто sin(φ + 2 * π * k) = sin(φ) і cos(φ + 2 * π * k) = cos(φ), випливає, що cos(φ) = cos(arg z) і sin(φ) = sin(arg z).

Тому, при переході від алгебраїчної до тригонометричної форми комплексного числа, достатньо визначити лише головне значення аргументу цього комплексного числа, тобто вважати φ = arg z.Так як -π < arg z <= π, то з формули tg(φ) = y / x отримаємо, що

Зауваження: два комплексних числа, заданих в тригонометричній формі, рівні тоді і тільки тоді, коли їх модулі рівні, а аргументи відрізняються на величину, кратну 2 * π. Тобто r1 * (cos(φ1) + i * siv(φ1)) = r2 * (cos(φ2) + i * sin(φ2)) якщо r1 = r2 і φ2 = φ1 + 2 * π * k (де k ∈ Z).

Введемо далі наступні позначення:

Формули Ейлера

Зазначимо, що співвідношення (3) називаються формулами Ейлера.

Тоді тригонометрична форма комплексного числа (1) може бути зображена у показниковій формі:

Показникова форма комплексного числа

де r = |z|φ = arg z.

Приклад 1: записати у тригонометричній та показниковій формах комплексне число z = -1.73205 - i.

Комплексне число z подано у алгебраїчній формі, значить x = -1.73205  і y = 1. Щоб записати його у тригонометричній або показниковій формах слід визначити модуль та аргумент комплексного числа.

Отже, згідно з формулою  маємо:

r = 2;

Оскільки x < 0 і y < 0, то за формулою (2) отримаємо:

arg z = -((5 * π) / 6);

Звідси, комплексне число z = -1.73205 - i має наступну тригонометричну та показникову форми:

Тригонометрична та показникова форми комплексного числа

Приклад 2: визначити, чи рівні між собою комплексні числа z1 = 1.73205 +i і z2 = 2 * (cos(π / 6) + i * Sin(π / 6)).

Отже, запишемо комплексне число z1 в тригонометричній формі. Для цього, знайдемо модуль r1 та аргумент φ1 цього числа:

r1 = 2; arg z1 = π / 6;

Таким чином

Тригонометрична форма комплексного числа z1 = 1.73205 +i

Звідси, дані комплексні числа рівні між собою.

Приклад 3: записати у тригонометричній формі комплексне число z = (-2) * (cos(π / 5) + i * sin(π / 5)).

Зазначимо, що за зовнішнім виглядом запису числа z може скластися враження, що воно вже записано у тригонометричній формі.

Але, якщо придивитися уважно, то можна помітити, що його вигляд відрізняється від форми (1). У заданого числа у якості r стоїть від’ємне число, що неможливо.

Отже, перепишемо число z = (-2) * (cos(π / 5) + i * sin(π / 5)) у наступному вигляді:

z = -2 * cos(π / 5) - 2 * i * sin(π / 5);

Далі, знайдемо модуль r та аргумент φ цього числа:

Модуль та аргумент комплексного числа z = (-2) * (cos(π / 5) + i * sin(π / 5))

Таким чином, тригонометрична форма комплексного числа має наступний вигляд:

Тригонометрична форма комплексного числа z = (-2) * (cos(π / 5) + i * sin(π / 5));

  1. Що називають дійсною та уявною частинами комплексного числа?
  2. Як комплексне число z = x + i * y зображується на площині XOY?
  3. За якими формулами обчислюється модуль, аргумент комплексного числа?
  4. Записати комплексне число z = x + i * y в тригонометричній формі?
  5. Запишіть умову рівності двох комплексних чисел у тригонометричній формі.
  6. Що називають формулами Ейлера?
  7. Подати комплексне число z = x + i * y в показниковій формі?

Блок-схема алгоритму знаходження аргументу комплексного числа.

Аргумент комплексного числа блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*