Тригонометрична та показникова форми комплексного числа

Тригонометрична форма комплексного числа.

Нехай задано комплексне число . Як відомо, його можна зобразити на комплексній площині точкою, абсциса якої дорівнює дійсній частині цього числа, тобто , а ордината – уявній частині .

Модуль і аргумент комплексного числа

Абсцису  та ординату  комплексного числа можна виразити через його модуль  та аргумент  наступним чином:

Зазначимо, що в такому разі, комплексне число можна записати у наступному вигляді:

Рівність (1) називається тригонометричною формою комплексного числа .

Як відомо,  (де ). Виходячи з того, що число  є періодом для функцій  та , тобто  і , випливає, що  і .

Тому, при переході від алгебраїчної до тригонометричної форми комплексного числа, достатньо визначити лише головне значення аргументу цього комплексного числа, тобто вважати .Так як , то з формули отримаємо, що

Зауваження: два комплексних числа, заданих в тригонометричній формі, рівні тоді і тільки тоді, коли їх модулі рівні, а аргументи відрізняються на величину, кратну . Тобто  якщо  і  (де ).

Показникова форма запису комплексного числа.

Введемо далі наступні позначення:

Зазначимо, що співвідношення (3) називаються формулами Ейлера.

Тоді тригонометрична форма комплексного числа (1) може бути зображена у показниковій формі:

де , .

Показникова і тригонометрична форма комплексного числа приклади.

Приклад 1: записати у тригонометричній та показниковій формах комплексне число .

Комплексне число  подано у алгебраїчній формі, значить  і . Щоб записати його у тригонометричній або показниковій формах слід визначити модуль та аргумент комплексного числа.

Отже, згідно з формулою  маємо:

Оскільки  і , то за формулою (2) отримаємо:

Звідси, комплексне число  має наступну тригонометричну та показникову форми:

Приклад 2: визначити, чи рівні між собою комплексні числа  і .

Отже, запишемо комплексне число  в тригонометричній формі. Для цього, знайдемо модуль  та аргумент  цього числа:

Таким чином

Звідси, дані комплексні числа рівні між собою.

Приклад 3: записати у тригонометричній формі комплексне число .

Зазначимо, що за зовнішнім виглядом запису числа  може скластися враження, що воно вже записано у тригонометричній формі.

Але, якщо придивитися уважно, то можна помітити, що його вигляд відрізняється від форми (1). У заданого числа у якості  стоїть від’ємне число, що неможливо.

Отже, перепишемо число  у наступному вигляді:

Далі, знайдемо модуль  та аргумент цього числа:

Таким чином, тригонометрична форма комплексного числа має наступний вигляд:

Запитання для самоперевірки на тему тригонометрична та показникова форми комплексного числа.

1. Що називають дійсною та уявною частинами комплексного числа?
2. Як комплексне число зображується на площині ?
3. За якими формулами обчислюється модуль, аргумент комплексного числа?
4. Записати комплексне число  в тригонометричній формі?
5. Запишіть умову рівності двох комплексних чисел у тригонометричній формі.
6. Що називають формулами Ейлера?
7. Подати комплексне число  в показниковій формі?

Блок-схема алгоритму знаходження аргументу комплексного числа.