Навігація по сторінці.
Як відомо, множина дійсних чисел замкнена щодо операцій додавання, віднімання, множення (піднесення до натурального степеня) і ділення, за винятком ділення на нуль, тобто результат дії над двома або декількома числами завжди існує і однозначний в .
Що ж до добування кореня, то в воно завжди здійснюється тільки для невід’ємних чисел. Добування кореня парної степені з невід’ємного числа в нездійсненне, тобто і так далі не мають змісту і рівняння в цій числовій множині нерозв’язні. Тому є потреба в подальшому розширенні дійсних чисел до множини комплексних, в яких дія добування кореня завжди здійснюється, а алгебраїчні рівняння завжди мають розв’язок.
Комплексні числа. Основні поняття.
Введемо спочатку наступне поняття: число, квадрат якого дорівнює , позначають і називають уявною одиницею, тобто, за означенням, приймають (буква – перша буква латинського слова imaginarius, що означає уявний).
Комплексним числом називається вираз виду , де , , а – уявна одиниця.
Якщо , то число називається чисто уявним; якщо , то число ототожнюється з дійсним числом , а це означає, що множина всіх дійсних чисел є підмножиною множини всіх комплексних чисел, тобто .
Число називається дійсною частиною комплексного числа і позначається ( від французького reele – дійсний), а – уявною частиною , ( від французького imaginair –
уявний).
Два комплексні числа і називаються рівними тоді і тільки тоді, коли і . Зокрема, , коли і .
Зауваження: поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має сенсу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше чи , чи .
Два комплексні числа і , які відрізняються лише знаком при уявній частині, називаються спряженими.
Геометричне зображення комплексного числа.
Виберемо далі на площині прямокутну систему координат . Будь-яке комплексне число можна зобразити точкою цієї площини. І навпаки, кожну точку координатної площини можна розглядати як образ комплексного числа .
Таким чином, між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини встановлена взаємно однозначна відповідність. Площина, на якій зображають комплексні числа, називається комплексною площиною.
Зображення комплексного числа геометрично
Якщо , то отримаємо дійсне число , яке зображується точкою на осі . Внаслідок цього вісь називається дійсною віссю.
Якщо , то отримаємо суто уявне число , яке зображується точкою, яка лежить на осі . З цієї причини вісь ординат називається уявною віссю. Точка з координатами слугує зображенням числа . Спряженим числам і відповідають точки, симетричні відносно осі .
Комплексін числа – розв’язання прикладів.
Приклад 1: зобразіть на комплексній площині число .
Зазначимо, що цьому числу відповідає точка комплексної площини з координатами :
Геометричне зображення комплексного числа z = 3 – 2i
Приклад 2: зобразіть на площині всі комплексні числа , для яких вірна рівність .
Не важко переконатись, що це всі числа, які знаходяться на прямій, заданій наступною умовою :
Геометричне зображення комплексних чисел для яких Re z = -1
Приклад 3: нехай дано два рівних комплексних числа . Знайти та .
Отже, з умови рівності комплексних чисел маємо: , . Звідси, і .
Приклад 4: при яких дійсних значеннях та комплексні числа і будуть спряженими?
Отже, комплексні числа і будуть комплексно спряженими, якщо виконуються умови:
Розв’язавши отриману систему, знаходимо:
Звідси, числа та відрізнятимуться лише знаком при уявній частині, якщо і або і .
Приклад 5: при яких дійсних значеннях і комплексні числа і будуть рівними?
Зазначимо, що комплексні числа і будуть рівними, тоді і тільки тоді, коли виконуватимуться умови:
Знову-таки, розв’язавши отриману систему, отримаємо:
Отже, при і та і задіні числа рівні.
Запитання для самоперевірки на тему комплексні числа.
- Що називається уявною одиницею?
- Що називається чисто уявним числом?
- Як виглядає алгебраїчнa формa комплексного числа?
- Яке комплексне число називається спряженим до даного комплексного числа?
- В якому разі два комплексні числа називаються рівними?
- Що називається дійсною частиною комплексного числа?
- Що називається уявною частиною комплексного числа?
- Яка геометрична інтерпретація комплексного числа?