Алгебраїчна форма та геометричне зображення комплексних чисел

Як відомо, множина дійсних чисел  замкнена щодо операцій додавання, віднімання, множення (піднесення до натурального степеня) і ділення, за винятком ділення на нуль, тобто результат дії над двома або декількома числами завжди існує і однозначний в .

Що ж до добування кореня, то в воно завжди здійснюється тільки для невід’ємних чисел. Добування кореня парної степені з невід’ємного числа в нездійсненне, тобто  і так далі не мають змісту і рівняння  в цій числовій множині нерозв’язні. Тому є потреба в подальшому розширенні дійсних чисел до множини комплексних, в яких дія добування кореня завжди здійснюється, а алгебраїчні рівняння завжди мають розв’язок.

Комплексні числа. Основні поняття.

Введемо спочатку наступне поняття: число, квадрат якого дорівнює , позначають  і називають уявною одиницею, тобто, за означенням, приймають  (буква – перша буква латинського слова imaginarius, що означає уявний).

Комплексним числом  називається вираз виду , де , , а – уявна одиниця.

Якщо , то число  називається чисто уявним; якщо , то число  ототожнюється з дійсним числом , а це означає, що множина всіх дійсних чисел є підмножиною множини  всіх комплексних чисел, тобто .

Число називається дійсною частиною комплексного числа і позначається  ( від французького reele – дійсний), а  – уявною частиною ,  ( від французького imaginair –
уявний).

Два комплексні числа  і  називаються рівними тоді і тільки тоді, коли  і . Зокрема, , коли  і .

Зауваження: поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має сенсу. Ці числа за величиною не порівнюють. Тому не можна, наприклад, сказати, яке з двох комплексних чисел більше  чи ,  чи .

Два комплексні числа  і , які відрізняються лише знаком при уявній частині, називаються спряженими.

Геометричне зображення комплексного числа.

Виберемо далі на площині прямокутну систему координат . Будь-яке комплексне число  можна зобразити точкою  цієї площини. І навпаки, кожну точку координатної площини можна розглядати як образ комплексного числа .

Таким чином, між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини встановлена взаємно однозначна відповідність. Площина, на якій зображають комплексні числа, називається комплексною площиною.

Зображення комплексного числа геометрично

Якщо , то отримаємо дійсне число , яке зображується точкою  на осі . Внаслідок цього вісь називається дійсною віссю.

Якщо , то отримаємо суто уявне число , яке зображується точкою, яка лежить на осі . З цієї причини вісь ординат називається уявною віссю. Точка з координатами  слугує зображенням числа . Спряженим числам і  відповідають точки, симетричні відносно осі .

Комплексін числа – розв’язання прикладів.

Приклад 1: зобразіть на комплексній площині число .

Зазначимо, що цьому числу відповідає точка комплексної площини з координатами :

Геометричне зображення комплексного числа z = 3 – 2i

Приклад 2: зобразіть на площині всі комплексні числа , для яких вірна рівність .

Не важко переконатись, що це всі числа, які знаходяться на прямій, заданій наступною умовою :

Геометричне зображення комплексних чисел для яких Re z = -1

Приклад 3: нехай дано два рівних комплексних числа . Знайти та .

Отже, з умови рівності комплексних чисел маємо: , . Звідси,  і .

Приклад 4: при яких дійсних значеннях та  комплексні числа  і  будуть спряженими?

Отже, комплексні числа  і  будуть комплексно спряженими, якщо виконуються умови:

Розв’язавши отриману систему, знаходимо:

Звідси, числа  та  відрізнятимуться лише знаком при уявній частині, якщо  і  або  і .

Приклад 5: при яких дійсних значеннях і комплексні числа  і  будуть рівними?

Зазначимо, що комплексні числа  і  будуть рівними, тоді і тільки тоді, коли виконуватимуться умови:

Знову-таки, розв’язавши отриману систему, отримаємо:

Отже, при  і  та  і  задіні числа рівні.

Запитання для самоперевірки на тему комплексні числа.

1. Що називається уявною одиницею?
2. Що називається чисто уявним числом?
3. Як виглядає алгебраїчнa формa комплексного числа?
4. Яке комплексне число називається спряженим до даного комплексного числа?
5. В якому разі два комплексні числа називаються рівними?
6. Що називається дійсною частиною комплексного числа?
7. Що називається уявною частиною комплексного числа?
8. Яка геометрична інтерпретація комплексного числа?