Інтерполяційна формула Стірлінга належить до методів центральної інтерполяції та використовується для наближеного обчислення значень функції за табличними даними. Вона призначена для випадків, коли вузли розташовані з однаковим кроком, а точка, у якій потрібно знайти значення функції, розташована поблизу середини таблиці. Розглянемо принцип побудови формули, умови її використання та приклади обчислення наближених значень функції.
Центральна Інтерполяція: Походження Формули Стірлінга
Під час інтерполяції за табличними даними спосіб побудови наближення значною мірою залежить від того, де розташована потрібна точка відносно вузлів. Для точок, що знаходяться в центральній частині таблиці, використовують центральні інтерполяційні формули.
До них належать перша та друга інтерполяційні формули Гаусса. Обидві будуються відносно центрального вузла та використовують скінченні різниці, але відрізняються порядком залучення вузлів, розташованих праворуч і ліворуч від нього.
Інтерполяційну формулу Стірлінга отримують шляхом усереднення відповідних членів першої та другої інтерполяційних формул Гаусса. У результаті утворюється симетричний запис, у якому використовуються скінченні різниці з обох боків від центрального вузла.
Саме ця особливість визначає структуру формули Стірлінга та спосіб використання парних і непарних скінченних різниць.
Рівновіддалені Вузли: Підготовка Даних До Інтерполяції
Для використання формули Стірлінга вузли інтерполяції повинні бути рівновіддаленими. Якщо \( x_0 \) вибрано центральним вузлом, їх можна записати у вигляді
\[ x_i=x_0+i\cdot h, \]
де \( h \) — сталий крок між сусідніми вузлами.
Навколо центрального вузла точки розташовуються так:
\[ \dots,\;x_{-2},\;x_{-1},\;x_0,\;x_1,\;x_2,\;\dots \]
Їм відповідають значення функції
\[ \dots,\;y_{-2},\;y_{-1},\;y_0,\;y_1,\;y_2,\;\dots, \]
де
\[ y_i=f(x_i). \]
Положення точки \( x \), у якій потрібно обчислити наближене значення функції, відносно центрального вузла визначають за допомогою параметра
\[ q=\frac{x-x_0}{h}. \]
Якщо \( x=x_0 \), то \( q=0 \).
Для точки праворуч від \( x_0 \) параметр \( q \) є додатним, а для точки ліворуч — від’ємним. Чим менше значення \( |q| \), тим ближче точка \( x \) розташована до центрального вузла.
Формулу Стірлінга доцільно використовувати, коли модуль параметра \( q \) є невеликим. Зазвичай орієнтуються на умову
\[ |q|\leq 0.5. \]
Наступним кроком є побудова таблиці скінченних різниць. Різниці першого порядку визначають за формулою
\[ \Delta y_i=y_{i+1}-y_i, \]
а різниці другого порядку —
\[ \Delta^2y_i=\Delta y_{i+1}-\Delta y_i. \]
Аналогічно обчислюють різниці третього та наступних порядків. Отримані значення використовують для послідовного формування інтерполяційного полінома.
Інтерполяційна Формула Стірлінга: Структура Полінома
Під час побудови полінома Стірлінга парні та непарні скінченні різниці використовують по-різному.
Для різниць непарних порядків беруть середнє арифметичне двох сусідніх скінченних різниць. Наприклад, для першого порядку використовують
\[ \frac{\Delta y_{-1}+\Delta y_0}{2}, \]
а для третього —
\[ \frac{\Delta^3y_{-2}+\Delta^3y_{-1}}{2}. \]
Для різниць парних порядків використовують одну центральну різницю. Зокрема,
\[ \Delta^2y_{-1},\qquad \Delta^4y_{-2},\qquad \Delta^6y_{-3}. \]
З урахуванням цих правил інтерполяційна формула Стірлінга має вигляд
\[ \begin{gathered} P(x)=y_0+q\cdot\frac{\Delta y_{-1}+\Delta y_0}{2}+\frac{q^2}{2}\cdot\Delta^2y_{-1}+\frac{q\cdot(q^2-1^2)}{3!}\cdot\frac{\Delta^3y_{-2}+\Delta^3y_{-1}}{2}+\frac{q^2\cdot(q^2-1^2)}{4!}\cdot\Delta^4y_{-2}\\[4pt] +\frac{q\cdot(q^2-1^2)\cdot(q^2-2^2)}{5!}\cdot\frac{\Delta^5y_{-3}+\Delta^5y_{-2}}{2}+\frac{q^2\cdot(q^2-1^2)\cdot(q^2-2^2)}{6!}\cdot\Delta^6y_{-3}+\dots. \end{gathered} \]
Структура формули продовжується за тією самою закономірністю для різниць вищих порядків. Тому її непарні та парні члени можна записати в загальному вигляді.
Для члена з різницею непарного порядку маємо
\[ \frac{q\cdot(q^2-1^2)\cdot(q^2-2^2)\cdot\dots\cdot(q^2-(n-1)^2)}{(2\cdot n-1)!}\cdot\frac{\Delta^{2\cdot n-1}y_{-n}+\Delta^{2\cdot n-1}y_{-(n-1)}}{2}, \]
а для члена з різницею парного порядку —
\[ \frac{q^2\cdot(q^2-1^2)\cdot(q^2-2^2)\cdot\dots\cdot(q^2-(n-1)^2)}{(2\cdot n)!}\cdot\Delta^{2\cdot n}y_{-n}. \]
Кількість членів полінома визначається кількістю доступних вузлів і тим, до якого порядку можна побудувати скінченні різниці. Обчислення виконують послідовно, починаючи з членів нижчих порядків і переходячи до наступних складових формули.
Інтерполяційна Формула Стірлінга: Покрокові Приклади Обчислення
Перейдемо до практичного використання формули Стірлінга для рівновіддалених табличних даних. У кожному випадку визначимо центральний вузол і крок, побудуємо скінченні різниці, знайдемо параметр \( q \), а потім послідовно обчислимо необхідні члени інтерполяційного полінома.
Приклад 1. За наведеними табличними значеннями функції знайти наближене значення \( f(0.4) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( -2 \) | \( -2 \) | \( -1 \) |
| \( -1 \) | \( -1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 5 \) |
| \( 2 \) | \( 2 \) | \( 19 \) |
Відстань між сусідніми вузлами є сталою:
\[ h=1. \]
Центральним є вузол
\[ x_0=0, \qquad y_0=1. \]
Побудуємо таблицю скінченних різниць:
| \( i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2 y_i \) | \( \Delta^3 y_i \) | \( \Delta^4 y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( -2 \) | \( -1 \) | \( 2 \) | \( -2 \) | \( 6 \) | \( 0 \) |
| \( -1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) | \( 4 \) | \( 6 \) | |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 4 \) | \( 10 \) | ||
| \( 1 \) | \( 5 \) | \( 14 \) | |||
| \( 2 \) | \( 19 \) |
Обчислимо параметр \( q \):
\[ q=\frac{x-x_0}{h} = \frac{0.4-0}{1} = 0.4. \]
З таблиці скінченних різниць вибираємо значення, необхідні для формули Стірлінга:
\[ \begin{gathered} \Delta y_{-1}=0, \qquad \Delta y_0=4,\\[4pt] \Delta^2y_{-1}=4,\\[4pt] \Delta^3y_{-2}=6, \qquad \Delta^3y_{-1}=6. \end{gathered} \]
Четверта різниця дорівнює нулю, тому відповідний член не впливає на результат.
Запишемо необхідні члени формули Стірлінга:
\[ P(x) = y_0 + q\cdot\frac{\Delta y_{-1}+\Delta y_0}{2} + \frac{q^2}{2}\cdot\Delta^2y_{-1} + \frac{q\cdot(q^2-1^2)}{3!}\cdot \frac{\Delta^3y_{-2}+\Delta^3y_{-1}}{2}. \]
Підставимо відомі значення:
\[ P(0.4) = 1 + 0.4\cdot\frac{0+4}{2} + \frac{0.4^2}{2}\cdot4 + \frac{0.4\cdot(0.4^2-1^2)}{6}\cdot \frac{6+6}{2}. \]
Обчислимо окремі доданки:
\[ \begin{gathered} 0.4\cdot\frac{0+4}{2}=0.8,\\[4pt] \frac{0.4^2}{2}\cdot4=0.32,\\[4pt] \frac{0.4\cdot(0.4^2-1^2)}{6}\cdot6=-0.336. \end{gathered} \]
Тоді
\[ P(0.4) = 1+0.8+0.32-0.336 = 1.784. \]
Отже,
\[ f(0.4)\approx1.784. \]
Приклад 2. За наведеними табличними значеннями функції знайти наближене значення \( f(-0.2) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( -2 \) | \( -1 \) | \( 25 \) |
| \( -1 \) | \( -0.5 \) | \( 4 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 0.5 \) | \( 4 \) |
| \( 2 \) | \( 1 \) | \( 25 \) |
Крок між сусідніми вузлами дорівнює
\[ h=0.5. \]
Центральним є вузол
\[ x_0=0, \qquad y_0=1. \]
Побудуємо таблицю скінченних різниць:
| \( i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2 y_i \) | \( \Delta^3 y_i \) | \( \Delta^4 y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( -2 \) | \( 25 \) | \( -21 \) | \( 18 \) | \( -12 \) | \( 24 \) |
| \( -1 \) | \( 4 \) | \( -3 \) | \( 6 \) | \( 12 \) | |
| \( 0 \) | \( 1 \) | \( 3 \) | \( 18 \) | ||
| \( 1 \) | \( 4 \) | \( 21 \) | |||
| \( 2 \) | \( 25 \) |
Знайдемо параметр \( q \):
\[ q=\frac{x-x_0}{h} = \frac{-0.2-0}{0.5} = -0.4. \]
Для формули Стірлінга потрібні такі скінченні різниці:
\[ \begin{gathered} \Delta y_{-1}=-3, \qquad \Delta y_0=3,\\[4pt] \Delta^2y_{-1}=6,\\[4pt] \Delta^3y_{-2}=-12, \qquad \Delta^3y_{-1}=12,\\[4pt] \Delta^4y_{-2}=24. \end{gathered} \]
У цьому випадку середні значення непарних різниць дорівнюють
\[ \frac{\Delta y_{-1}+\Delta y_0}{2} = \frac{-3+3}{2} = 0 \]
та
\[ \frac{\Delta^3y_{-2}+\Delta^3y_{-1}}{2} = \frac{-12+12}{2} = 0. \]
Тому члени з різницями першого та третього порядків не впливають на результат.
Запишемо формулу з урахуванням різниць до четвертого порядку:
\[ \begin{aligned} P(x) ={}& y_0 + q\cdot\frac{\Delta y_{-1}+\Delta y_0}{2} + \frac{q^2}{2}\cdot\Delta^2y_{-1}\\ &+ \frac{q\cdot(q^2-1^2)}{3!}\cdot \frac{\Delta^3y_{-2}+\Delta^3y_{-1}}{2} + \frac{q^2\cdot(q^2-1^2)}{4!}\cdot\Delta^4y_{-2}. \end{aligned} \]
Підставимо значення:
\[ \begin{aligned} P(-0.2) ={}& 1 + (-0.4)\cdot0 + \frac{(-0.4)^2}{2}\cdot6\\ &+ \frac{(-0.4)\cdot((-0.4)^2-1^2)}{6}\cdot0 + \frac{(-0.4)^2\cdot((-0.4)^2-1^2)}{24}\cdot24. \end{aligned} \]
Обчислимо ненульові доданки:
\[ \begin{gathered} \frac{(-0.4)^2}{2}\cdot6=0.48,\\[4pt] \frac{(-0.4)^2\cdot((-0.4)^2-1^2)}{24}\cdot24=-0.134. \end{gathered} \]
Тоді
\[ P(-0.2) = 1+0.48-0.134 = 1.346. \]
Отже,
\[ f(-0.2)\approx1.346. \]
Приклад 3. За наведеними табличними значеннями функції знайти наближене значення \( f(0.3) \)
| \( i \) | \( x_i \) | \( y_i \) |
|---|---|---|
| \( -2 \) | \( -2 \) | \( 12 \) |
| \( -1 \) | \( -1 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 2 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 9 \) |
| \( 2 \) | \( 2 \) | \( 40 \) |
Крок між сусідніми вузлами становить
\[ h=1. \]
Центральним є вузол
\[ x_0=0, \qquad y_0=2. \]
Побудуємо таблицю скінченних різниць:
| \( i \) | \( y_i \) | \( \Delta y_i \) | \( \Delta^2 y_i \) | \( \Delta^3 y_i \) | \( \Delta^4 y_i \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( -2 \) | \( 12 \) | \( -11 \) | \( 12 \) | \( -6 \) | \( 24 \) |
| \( -1 \) | \( 1 \) | \( 1 \) | \( 6 \) | \( 18 \) | |
| \( 0 \) | \( 2 \) | \( 7 \) | \( 24 \) | ||
| \( 1 \) | \( 9 \) | \( 31 \) | |||
| \( 2 \) | \( 40 \) |
Обчислимо параметр \( q \):
\[ q=\frac{x-x_0}{h} = \frac{0.3-0}{1} = 0.3. \]
З таблиці вибираємо
\[ \begin{gathered} \Delta y_{-1}=1, \qquad \Delta y_0=7,\\[4pt] \Delta^2y_{-1}=6,\\[4pt] \Delta^3y_{-2}=-6, \qquad \Delta^3y_{-1}=18,\\[4pt] \Delta^4y_{-2}=24. \end{gathered} \]
Знайдемо середні значення непарних різниць:
\[ \begin{gathered} \frac{\Delta y_{-1}+\Delta y_0}{2} = \frac{1+7}{2} = 4,\\[4pt] \frac{\Delta^3y_{-2}+\Delta^3y_{-1}}{2} = \frac{-6+18}{2} = 6. \end{gathered} \]
Оскільки четверта різниця не дорівнює нулю, у цьому випадку врахуємо всі члени до четвертого порядку:
\[ P(0.3) = 2 + 0.3\cdot4 + \frac{0.3^2}{2}\cdot6 + \frac{0.3\cdot(0.3^2-1^2)}{6}\cdot6 + \frac{0.3^2\cdot(0.3^2-1^2)}{24}\cdot24. \]
Обчислимо доданки:
\[ \begin{gathered} 0.3\cdot4=1.2,\\[4pt] \frac{0.3^2}{2}\cdot6=0.27,\\[4pt] \frac{0.3\cdot(0.3^2-1^2)}{6}\cdot6=-0.273,\\[4pt] \frac{0.3^2\cdot(0.3^2-1^2)}{24}\cdot24=-0.082. \end{gathered} \]
Тоді
\[ P(0.3) = 2+1.2+0.27-0.273-0.082 = 3.115. \]
Отже,
\[ f(0.3)\approx3.115. \]
Що Вивчати Далі: Наступні Ідеї Для Інтерполяції
Після формули Стірлінга варто ознайомитися з іншими способами інтерполяції, які ґрунтуються на дещо інших принципах. Це допоможе краще зрозуміти, як вибір методу залежить від розташування вузлів і властивостей даних.
- Формула Бесселя: Інтерполяція між центральними вузлами — Дізнаємося, як формула Бесселя допомагає знаходити наближені значення функції поблизу середини між двома центральними вузлами.
- Схема Ейткена: Послідовне обчислення наближеного значення — Розглянемо, як схема Ейткена крок за кроком обчислює наближене значення функції без явного запису інтерполяційного полінома.
- Тригонометричні поліноми: Інтерполяція періодичних функцій — Познайомимося з наближенням періодичних даних за допомогою синусів і косинусів та розглянемо особливості такого підходу.
Інтерполяційна Формула Стірлінга: Від Блок-Схеми До Програмного Коду
Якщо вам подобається програмування, спробуйте перетворити отримані знання про інтерполяційну формулу Стірлінга на власну програму. Скористайтеся наведеною блок-схемою як основою алгоритму та реалізуйте його мовою програмування, з якою вам найзручніше працювати: організуйте введення табличних даних, побудову скінченних різниць, обчислення параметра \( q \) і поступове формування наближеного значення функції. Після цього перевірте програму на даних із розглянутих прикладів і порівняйте отримані значення з ручними обчисленнями.
