Нехай маємо рівновіддалених вузлів інтерполяції , де , і для деякої функції відомо її значення в даних вузлах, тобто . Задача полягає у побудові інтерполяційного полінома, степінь якого не перевищує і значення якого у візлах інтерполяції співпадає з відомими значеннями функції ().
Даний поліном будемо шукати в наступному вигляді:
Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (1) перепишемо у наступному вигляді:
Застосовуючи для обчислення коефіцієнтів той самий спосіб, що і при виводі інтерполяційної формули Ньютона, послідовно знаходимо:
Далі, ввівши змінну і зробивши відповідну заміну в формулі (2) отримуємо першу інтерполяційну формулу Гаусса:
або в скороченій формі:
де .
Перша інтерполяційна формула Гаусса використовує центральні скінченні різниці (в таблиці утворюють нижню ламану люнію позначену червоним кольором).
Аналогічним чином можна отримати другу інтерполяційну формулу Гаусса, яка використовує центральні різниці виду (утворюють верхню ламану лінію позначену сірим кольором) і записується в наступному вигляді:
або в скороченій формі:
де .
Зауваження: перша інтерполяційна формула Гаусса використовується для обчислення наближеного значення функції в тому випадку, коли , тоді, як друга – коли .
Інтерполяційна формула Гаусса – приклад:
Для функції, заданої таблицею своїх значень, обчислити наближене значення в точці , використовуючи при цьому інтерполяційну формулу Гаусса.
Виходячи з того, що точка , для відшукання наближеного значення будемо використовувати першу інтерполяційну формулу Гаусса. Для цього, на першому кроці запишемо таблицю скінченних різниць. Для даної задачі вона прийме наступного вигляду:
Далі, прийнявши і , отримаємо першу інтерполяційна формула Гаусса:
Поклавши в даній формулі , знаходимо наближене значення функції в точці .