Для виводу інтерполяційної формули Бесселя візьмемо рівновіддалених вузли інтерполяції з кроком , і нехай задані значення функції в даних вузлах.
Після цього, скориставшись другою інтерполяційною формулою Гаусса, в якості початкового наближення для якої взявши значення та , отримаємо:
Далі, за початкове наближення візьмемо значення . Тоді , причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (1) виростуть на одиницю. Замінивши в правій частині (1) на і збільшивши індекси всіх скінченних різниць на 1, отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу:
Взявши середнє арифметичне формул (1) і (2) отримуємо інтерполяційну формулу Бесселя:
де .
В отриманій формулі Бесселя всі члени, які складаються з скінченних різниць непарного порядку містять множник , внаслідок цього можна зробити висновок, що якщо в якості взяти значення , то таким чином можна значно спростити формулу (3) і отримати окремий випадок формули Бесселя, яка носить назву інтерполяційної формулт на середину.
Інтерполяційна формула Бесселя – приклад:
Для функції заданаї таблично, знайти наближене значення в точцці , використовуючи при цьому інтерполяційну формулу Бесселя.
Для цього, на першому кроці, побудуємо таблицю скінченних різниць:
Далі, прийнявши і , інтерполяційна формула Бесселя (3) прийме наступного вигляду:
Поклавши в даній формулі знаходимо наближене значення функції в точці .