Навігація по сторінці.
Множення i дiлення комплексних чисел, записаних в тригонометричнiй формi.
Знайдемо добуток і частку комплексних чисел і
заданих у тригонометричній формі:
З (1) випливає, що і
. Тобто, при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються.
Припускаючи, що знайдемо частку двох комплексних чисел:
З (2) випливає, що і
. Тобто, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. Якщо
,
, то формула (2) приймає наступний вигляд:
Звідки , тобто модуль комплексного числа
дорівнює оберненій величині модуля числа
, а його головне значення аргументу відрізняється від головного значення аргументу
тільки знаком.
Піднесення комплексних чисел до степеня.
Методом математичної індукції можна показати, що , де
.
Зокрема, якщо , то отримуємо формулу Муавра:
Звідси і
. Тобто, при піднесенні комплексного числа до степеня модуль підноситься до того ж степеня, а аргумент домножується на показник степеня.
Зазначимо, що формула (4) буде вірною і для цілих від’ємних показників. Оскільки , то достатньо використовувати цю формулу для числа
, тригонометрична форма якого визначена формулою (3).
Корінь n-го степеня з комплексного числа.
Нехай потрібно добути корінь степеня з комплексного числа
, тобто знайти таке комплексне число
, що
.
Запишемо числа і
в тригонометричних формах
,
і позначимо корінь степеня
з числа
у наступному вигляді:
Використовуючи формулу (4), отримаємо:
Оскільки модулі рівних комплексних чисел однакові, а аргументи можуть відрізнятися тільки на , то
,
. Звідси
(корінь береться арифметичний),
. Тому рівність
набуває вигляду:
де . Зазначимо, що для кожного з цих
всі отримані за формулою (5) значення кореня будуть різні, оскільки аргументи не відрізняються один від одного на число, кратне
.
При інших значеннях , через періодичність косинуса і синуса, вийдуть значення кореня, які збігаються з вже знайденими. Так, при
маємо:
Отже, для будь-якого , корінь
-го степеня з комплексного числа
має рівно
різних значень.
Дії над комплексними числами – розв’язування прикладів.
Приклад 1: використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, обчислити:
Отже, запишемо спочатку кожне із чисел в тригонометричній формі.
Зазначимо, що, в даному випадку, перший із двох співмножників вже представлено тригонометрично.
Відносно другого співмножника – в дужках перед синусом стоїть знак мінус замість потрібного нам знака плюс. Отже, використовуючи парність і непарність тригонометричних функцій косинуса і синуса відповідно (), позбудемося цього мінуса.
В результаті будемо мати:
Отже,
Приклад 2: використвуючи формулу Муавра знайти , де
.
Отже, на першому кроці, запишемо число в тригонометричній формі.
Дійсною частиною даного комплексного числа є число , уявною частиною –
. Для знаходження тригонометричної форми числа
необхідно визначити його модуль і аргумент.
Модулем комплексного числа є число:
Аргумент обчислюється за наступною формулою:
Отже, тригонометрична форма запису заданого комплексного числа має вигляд:
Далі, скориставшись формулою (4), отримаємо:
Приклад 3: знайти всі значення кореня третьої степені з числа .
Для початку, приведемо комплексне число до тригонометричної форми:
Застосовуючи далі формулу (5), отримаємо:
Отже,
Запитання для самоперевірки.
- Що таке модуль, аргумент комплексного числа?
- За якими формулами обчислюється модуль, аргумент комплексного числа?
- Як виглядає тригонометрична форма комплексного числа?
- Напишіть формулу Муавра.
- Напишіть формулу кореня
-го степеня з комплексного числа.
- Сформулюйте правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі.
- Сформулюйте правило ділення комплексних чисел в тригонометричній формі