Дії над комплексними числами які задані в тригонометричній формі

Знайдемо добуток і частку комплексних чисел z1 = r1 * (cos(φ1) + i * sin(φ1)) і z2 = r2 * (cos(φ2) + i * sin(φ2)) заданих у тригонометричній формі:

Множення комплексних чисел в тригонометричній формі

З (1) випливає, що | z1 * z2 | = | z1 | * | z2 | і arg(z1 * z2) = arg z1 + arg z2. Тобто, при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються.

Припускаючи, що z2 ≠ 0 знайдемо частку двох комплексних чисел:

Ділення комплексних чисел в тригонометричній формі

З (2) випливає, що | z1 / z2 | = | z1 | / | z2 | і arg(z1 / z2) = arg z1 - arg z2. Тобто, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. Якщо z1 = 1 = 1 * (cos(0) + i * sin(0)), z2 = r2 * (cos(φ2) + i * sin(φ2)), то формула (2) приймає наступний вигляд:

Обернена виличина комплексного числа z2

Звідки arg z2 ^ ( -1 ) = -arg z2, тобто модуль комплексного числа arg z2 ^ ( -1 ) дорівнює оберненій величині модуля числа z2, а його головне значення аргументу відрізняється від головного значення аргументу z2 тільки знаком.

Методом математичної індукції можна показати, що z1 * z2 * z3 *...* zn = r1 * r2 * r3 *...* rn * (cos (φ1 + φ2 + φ3 +...+ φn) + i * sin(φ1 + φ2 + φ3 +...+ φn)), де ri = | zi |, φi = arg zi, i = 1,n.

Зокрема, якщо z1 = z1 = z3 = ... =zn = z = r * (cos(φ) + i * sin(φ)), то отримуємо формулу Муавра:

Комплексные числа формула Муавра

Звідси | z ^ n | = | z | ^ n і arg z ^ n = n * arg z. Тобто, при піднесенні комплексного числа до степеня модуль підноситься до того ж степеня, а аргумент домножується на показник степеня.

Зазначимо, що формула (4) буде вірною і для цілих від’ємних показників. Оскільки z ^ ( -n ) = ( z ^ ( -1 ) ) ^ n, то достатньо використовувати цю формулу для числа z ^ ( -1 ), тригонометрична форма якого визначена формулою (3).

Нехай потрібно добути корінь степеня n з комплексного числа z, тобто знайти таке комплексне число w, що w ^ n = z.

Запишемо числа z і w в тригонометричних формах z = r * (cos(φ) + i * sin(φ)), w = ρ‎ * (cos(θ) + i * sin(θ)) і позначимо корінь степеня n з числа z у наступному вигляді:

Корінь n-го степеня з комплексного числа

Використовуючи формулу (4), отримаємо:

ρ ^ n‎ * (cos(θ) + i * sin(θ)) = r * (cos(φ) + i * sin(φ));

Оскільки модулі рівних комплексних чисел однакові, а аргументи можуть відрізнятися тільки на 2 * π * k, то ρ ^ n = r, n * θ = φ + 2 * π * k. Звідси  (корінь береться арифметичний), θ = (φ + 2 * π * k) / n. Тому рівність Корінь n-го степеня з комплексного числа набуває вигляду:

Корінь n-го степеня з комплексного числа

де k = 0, 1, 2, 3,..., n - 1. Зазначимо, що для кожного з цих k всі отримані за формулою (5) значення кореня будуть різні, оскільки аргументи не відрізняються один від одного на число, кратне 2 * π.

При інших значеннях k, через періодичність косинуса і синуса, вийдуть значення кореня, які збігаються з вже знайденими. Так, при k = n маємо:

Корінь n-го степеня з комплексного числа

Отже, для будь-якого z ≠ 0корінь n-го степеня з комплексного числа z має рівно n різних значень.

Приклад 1: використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, обчислити:

Отже, запишемо спочатку кожне із чисел в тригонометричній формі.

Зазначимо, що, в даному випадку, перший із двох співмножників вже представлено тригонометрично.

Відносно другого співмножника – в дужках перед синусом стоїть знак мінус замість потрібного нам знака плюс. Отже, використовуючи парність і непарність тригонометричних функцій косинуса і синуса відповідно (cos(-φ) = cos(φ), sin(-φ) = -sin(φ)), позбудемося цього мінуса.

В результаті будемо мати:

Отже,

Приклад 2: використвуючи формулу Муавра знайти z ^ 12, де z = 1 + i.

Отже, на першому кроці, запишемо число z в тригонометричній формі.

Дійсною частиною даного комплексного числа є число x = Re z = 1, уявною частиною – y = Im z = 1. Для знаходження тригонометричної форми числа z = 1 + i необхідно визначити його модуль і аргумент.

Модулем комплексного числа z є число:

Аргумент обчислюється за наступною формулою:

arg z = π / 4;

Отже, тригонометрична форма запису заданого комплексного числа має вигляд:

Тригонометрична форма числа 1 + i

Далі, скориставшись формулою (4), отримаємо:

z ^ 12 = -64;

Приклад 3: знайти всі значення кореня третьої степені з числа z = 1 - i.

Для початку, приведемо комплексне число z до тригонометричної форми:

Застосовуючи далі формулу (5), отримаємо:

Отже,


  1. Що таке модуль, аргумент комплексного числа?
  2. За якими формулами обчислюється модуль, аргумент комплексного числа?
  3. Як виглядає тригонометрична форма комплексного числа?
  4. Напишіть формулу Муавра.
  5. Напишіть формулу кореня n-го степеня з комплексного числа.
  6. Сформулюйте правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі.
  7. Сформулюйте правило ділення комплексних чисел в тригонометричній формі

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*