Дії над комплексними числами які задані в тригонометричній формі

Множення i дiлення комплексних чисел, записаних в тригонометричнiй формi.

Знайдемо добуток і частку комплексних чисел  і  заданих у тригонометричній формі:

З (1) випливає, що  і . Тобто, при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються.

Припускаючи, що  знайдемо частку двох комплексних чисел:

З (2) випливає, що  і . Тобто, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. Якщо , , то формула (2) приймає наступний вигляд:

Звідки , тобто модуль комплексного числа  дорівнює оберненій величині модуля числа , а його головне значення аргументу відрізняється від головного значення аргументу тільки знаком.

Піднесення комплексних чисел до степеня.

Методом математичної індукції можна показати, що , де .

Зокрема, якщо , то отримуємо формулу Муавра:

Звідси  і . Тобто, при піднесенні комплексного числа до степеня модуль підноситься до того ж степеня, а аргумент домножується на показник степеня.

Зазначимо, що формула (4) буде вірною і для цілих від’ємних показників. Оскільки , то достатньо використовувати цю формулу для числа , тригонометрична форма якого визначена формулою (3).

Корінь n-го степеня з комплексного числа.

Нехай потрібно добути корінь степеня  з комплексного числа , тобто знайти таке комплексне число , що .

Запишемо числа і в тригонометричних формах ,  і позначимо корінь степеня з числа  у наступному вигляді:

Використовуючи формулу (4), отримаємо:

Оскільки модулі рівних комплексних чисел однакові, а аргументи можуть відрізнятися тільки на , то , . Звідси  (корінь береться арифметичний), . Тому рівність  набуває вигляду:

де . Зазначимо, що для кожного з цих  всі отримані за формулою (5) значення кореня будуть різні, оскільки аргументи не відрізняються один від одного на число, кратне .

При інших значеннях , через періодичність косинуса і синуса, вийдуть значення кореня, які збігаються з вже знайденими. Так, при  маємо:

Отже, для будь-якого , корінь -го степеня з комплексного числа має рівно різних значень.

Дії над комплексними числами – розв’язування прикладів.

Приклад 1: використовуючи тригонометричну форму комплексного числа, обчислити:

Отже, запишемо спочатку кожне із чисел в тригонометричній формі.

Зазначимо, що, в даному випадку, перший із двох співмножників вже представлено тригонометрично.

Відносно другого співмножника – в дужках перед синусом стоїть знак мінус замість потрібного нам знака плюс. Отже, використовуючи парність і непарність тригонометричних функцій косинуса і синуса відповідно (), позбудемося цього мінуса.

В результаті будемо мати:

Отже,

Приклад 2: використвуючи формулу Муавра знайти , де .

Отже, на першому кроці, запишемо число  в тригонометричній формі.

Дійсною частиною даного комплексного числа є число , уявною частиною – . Для знаходження тригонометричної форми числа  необхідно визначити його модуль і аргумент.

Модулем комплексного числа  є число:

Аргумент обчислюється за наступною формулою:

Отже, тригонометрична форма запису заданого комплексного числа має вигляд:

Далі, скориставшись формулою (4), отримаємо:

Приклад 3: знайти всі значення кореня третьої степені з числа .

Для початку, приведемо комплексне число до тригонометричної форми:

Застосовуючи далі формулу (5), отримаємо:

Отже,

Запитання для самоперевірки.

1. Що таке модуль, аргумент комплексного числа?
2. За якими формулами обчислюється модуль, аргумент комплексного числа?
3. Як виглядає тригонометрична форма комплексного числа?
4. Напишіть формулу Муавра.
5. Напишіть формулу кореня -го степеня з комплексного числа.
6. Сформулюйте правило множення комплексних чисел в тригонометричній формі.
7. Сформулюйте правило ділення комплексних чисел в тригонометричній формі