Теорема Піфагора, формула і доведення

Теорема Піфагора говорить про зв’язок довжин катетів з довжиною гіпотенузи прямокутного трикутника. Так, якщо трикутник  прямокутний і , то . Вона дозволяє, знаючи катети, знайти гіпотенузу або, знаючи один з катетів і гіпотенузи, знайти інший катет. Наприклад, якщо , , то , звідки .

Прямокутний трикутник ABC (кут A – прямий)

Отже, теорема Піфагора формулюється так: у прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто .

Доведемо це твердження. Для цього, добудуємо прямокутний трикутник з катетами  і  та гіпотенузою  до квадрата зі стороною . Розіб’ємо цей квадрат на чотири прямокутних трикутника і один чотирикутник.

Ілюстрація до доведення теореми Піфагора

Прямокутні трикутники рівні за двома катетам. Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює , то . Тоді, у внутрішнього чотирикутника  всі сторони дорівнюють і всі кути прямі. Тому це квадрат, і його площа дорівнює .

Площа великого квадрата , з одного боку, дорівнює квадрату його сторони, тобто . З іншого боку, вона дорівнює сумі площ чотирьох рівних прямокутних трикутників і площі внутрішнього квадрата: . Тоді, . Тобто, теорема  Піфагора доведена.

Зауваження: з рівності випливає, що . З урахуванням того, що  отримуємо . Аналогічно, . В такому випадку кажуть, що катет дорівнює квадратному кореню з різниці квадрата гіпотенузи і квадрата іншого катета.

Для теореми Піфагора існує і обернена теорема, яка дозволяє за трьома заданими сторонам трикутника визначити, чи є він прямокутним. Розглянемо її формулювання та доведення також.

Отже, якщо в трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то цей трикутник прямокутний, тобто якщо для сторін трикутника виконується рівність , то .

Для доведення оберненої теореми припустимо, що розглядається деякий трикутник , для якого виконується рівність  . Потрібно довести, що .

Ілюстрація до доведення оберненої теореми Піфагора

Розглянемо також прямокутний трикутник  з прямим кутм , у якого  і . Тоді, по теоремі Піфагора, матимемо . Значить . Але  за умовою теореми. Отже, , звідки можна зробити висновок, що .

Трикутники і рівні за трьома сторонам, тому , тобто трикутник – прямокутний, що і треба було довести.

Задачі на теорему Піфагора:

Приклад 1: сторони трикутника ,  і  дорівнюють ,  і  відповідно. Знайти медіану трикутника, проведену до більшої стороні.

Так як , то по теоремі, обеоненій до теореми Піфагора, заданий трикутник прямокутний з катетами ,  і гіпотенузою .

Прямокутний трикутник ABC (кут B – прямий)

Гіпотенуза – велика сторона трикутника. А медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, тобто .

Приклад 2: у прямокутному трикутнику катети  і  відносяться як , гіпотенуза  дорівнює . Знайти площу трикутника.

Введемо позначимо  і . Тоді, по теоремі Піфагора матимемо:

Тоді, ,  і .

Приклад 3: знайти площу рівнобедреного трикутника  зі сторонами  і .

Рівнобедрений трикутник ABC

Для початку, проведемо висоту . Так як висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною, то . Тоді, по теоремі Піфагора, для трикутника , отримаємо:

Отже, .

Блок-схема алгоритму знаходження гіпотенузи прямокутного трикутника