Теорема Піфагора говорить про зв’язок довжин катетів з довжиною гіпотенузи прямокутного трикутника. Так, якщо трикутник прямокутний і
, то
. Вона дозволяє, знаючи катети, знайти гіпотенузу або, знаючи один з катетів і гіпотенузи, знайти інший катет. Наприклад, якщо
,
, то
, звідки
.
Прямокутний трикутник ABC (кут A – прямий)
Отже, теорема Піфагора формулюється так: у прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто .
Доведемо це твердження. Для цього, добудуємо прямокутний трикутник з катетами і
та гіпотенузою
до квадрата зі стороною
. Розіб’ємо цей квадрат на чотири прямокутних трикутника і один чотирикутник.
Ілюстрація до доведення теореми Піфагора
Прямокутні трикутники рівні за двома катетам. Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює , то
. Тоді, у внутрішнього чотирикутника
всі сторони дорівнюють
і всі кути прямі. Тому це квадрат, і його площа дорівнює
.
Площа великого квадрата , з одного боку, дорівнює квадрату його сторони, тобто
. З іншого боку, вона дорівнює сумі площ чотирьох рівних прямокутних трикутників і площі внутрішнього квадрата:
. Тоді,
. Тобто, теорема Піфагора доведена.
Зауваження: з рівності випливає, що
. З урахуванням того, що
отримуємо
. Аналогічно,
. В такому випадку кажуть, що катет дорівнює квадратному кореню з різниці квадрата гіпотенузи і квадрата іншого катета.
Для теореми Піфагора існує і обернена теорема, яка дозволяє за трьома заданими сторонам трикутника визначити, чи є він прямокутним. Розглянемо її формулювання та доведення також.
Отже, якщо в трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то цей трикутник прямокутний, тобто якщо для сторін трикутника виконується рівність
, то
.
Для доведення оберненої теореми припустимо, що розглядається деякий трикутник , для якого виконується рівність
. Потрібно довести, що
.
Ілюстрація до доведення оберненої теореми Піфагора
Розглянемо також прямокутний трикутник з прямим кутм
, у якого
і
. Тоді, по теоремі Піфагора, матимемо
. Значить
. Але
за умовою теореми. Отже,
, звідки можна зробити висновок, що
.
Трикутники і
рівні за трьома сторонам, тому
, тобто трикутник
– прямокутний, що і треба було довести.
Задачі на теорему Піфагора:
Приклад 1: сторони трикутника ,
і
дорівнюють
,
і
відповідно. Знайти медіану трикутника, проведену до більшої стороні.
Так як , то по теоремі, обеоненій до теореми Піфагора, заданий трикутник прямокутний з катетами
,
і гіпотенузою
.
Прямокутний трикутник ABC (кут B – прямий)
Гіпотенуза – велика сторона трикутника. А медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, тобто .
Приклад 2: у прямокутному трикутнику катети і
відносяться як
, гіпотенуза
дорівнює
. Знайти площу трикутника.
Введемо позначимо і
. Тоді, по теоремі Піфагора матимемо:
Тоді, ,
і
.
Приклад 3: знайти площу рівнобедреного трикутника зі сторонами
і
.
Рівнобедрений трикутник ABC
Для початку, проведемо висоту . Так як висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною, то
. Тоді, по теоремі Піфагора, для трикутника
, отримаємо:
Отже, .