Теорема Піфагора говорить про зв’язок довжин катетів з довжиною гіпотенузи прямокутного трикутника. Так, якщо трикутник ABC прямокутний і , то . Вона дозволяє, знаючи катети, знайти гіпотенузу або, знаючи один з катетів і гіпотенузи, знайти інший катет. Наприклад, якщо AB = 8 см., AC = 15 см., то , звідки BC = 15 см.

Прямокутний трикутник, теорема Піфагора

Прямокутний трикутник ABC (кут A – прямий)

Отже, теорема Піфагора формулюється так: у прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто .

Доведемо це твердження. Для цього, добудуємо прямокутний трикутник з катетами AB і AC та гіпотенузою BC до квадрата зі стороною (AB + AC). Розіб’ємо цей квадрат на чотири прямокутних трикутника і один чотирикутник.

Теорема Піфагора доведення

Ілюстрація до доведення теореми Піфагора

Прямокутні трикутники рівні за двома катетам. Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 °, то β + γ = 90°. Тоді, у внутрішнього чотирикутника BGHC всі сторони дорівнюють BC і всі кути прямі. Тому це квадрат, і його площа дорівнює .

Площа великого квадрата ADEF, з одного боку, дорівнює квадрату його сторони, тобто . З іншого боку, вона дорівнює сумі площ чотирьох рівних прямокутних трикутників і площі внутрішнього квадрата: . Тоді, . Тобто, теорема  Піфагора доведена.

Зауваження: з рівності випливає, що . З урахуванням того, що AB > 0 отримуємо . Аналогічно, . В такому випадку кажуть, що катет дорівнює квадратному кореню з різниці квадрата гіпотенузи і квадрата іншого катета.

Для теореми Піфагора існує і обернена теорема, яка дозволяє за трьома заданими сторонам трикутника визначити, чи є він прямокутним. Розглянемо її формулювання та доведення також.

Отже, якщо в трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату третьої сторони, то цей трикутник прямокутний, тобто якщо для сторін трикутника ABC виконується рівність , то .

Для доведення оберненої теореми припустимо, що розглядається деякий трикутник ABC, для якого виконується рівність  . Потрібно довести, що .

Обернена теорема Піфагора доведення

Ілюстрація до доведення оберненої теореми Піфагора

Розглянемо також прямокутний трикутник A1B1C1 з прямим кутм A1, у якого A1B1 = AB і A1C1 = AC. Тоді, по теоремі Піфагора, матимемо . Значить . Але  за умовою теореми. Отже, , звідки можна зробити висновок, що B1C1 = BC.

Трикутники ABC і A1B1C1 рівні за трьома сторонам, тому , тобто трикутник ABC – прямокутний, що і треба було довести.

Задачі на теорему Піфагора:

Приклад 1: сторони трикутника ABBC і AC дорівнюють 7 см., 24 см. і 25 см. відповідно. Знайти медіану трикутника, проведену до більшої стороні.

Так як , то по теоремі, обеоненій до теореми Піфагора, заданий трикутник прямокутний з катетами AB = 7 см., BC = 24 см. і гіпотенузою AC = 25 см.

Задачі на теорему піфагора

Прямокутний трикутник ABC (кут B – прямий)

Гіпотенуза – велика сторона трикутника. А медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи, тобто AD = AC / 2 = 25 / 2 = 12.5 см.

Приклад 2: у прямокутному трикутнику катети AB і AC відносяться як 3 : 4, гіпотенуза BC дорівнює 30 см. Знайти площу трикутника.

Введемо позначимо AB = 3 * x і AC = 4 * x. Тоді, по теоремі Піфагора матимемо:

Тоді, AB = 3 * x = 3 * 6 = 18 см., AC = 4 * x = 4 * 6 = 24 см. і .

Приклад 3: знайти площу рівнобедреного трикутника ABC зі сторонами AB = BC = 10 см. і AC = 12 см.

Задачі на теорему піфагора

Рівнобедрений трикутник ABC

Для початку, проведемо висоту BD. Так як висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною, то AD = DC = 6 см . Тоді, по теоремі Піфагора, для трикутника ABD, отримаємо:

Отже, .

Блок-схема алгоритму знаходження гіпотенузи прямокутного трикутника

Телрема Піфагора блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*