Ми знаємо, як знайти площу трикутника за його стороною та проведеною до неї висотою: S = (AC * BD) / 2, а також за двома сторонами і куту між ними: S = (AB * AC * sin(α)) / 2. В даному параграфі введемо та доведемо теорему про знаходження площі трикутника за трьома відомими сторонами. Ця теорема носить назву теорема Герона (також називають формула Герона).

Як знайти площу трикутника, формула Герона

Трикутник ABC

Теорема Геронаплоща трикутника зі сторонами AB, BC і AC обчислюється за формулою Формула Герона, площа трикутника формула, де p = (AB + BC + AC) / 2 – напівпериметр трикутника ABC.

Розглянемо один з можливих варіантів її доведення. Отже, як зазначалося вище, площа трикутника може бути обчислена за формулою S = (AB * AC * sin(α)) / 2, де α – кут трикутник ABC, що лежить проти сторони BC.

Тоді, згідно з теоремою косинусів, матимемо: . Виразивши з останньої рівності cos(α), отримаємо:

Теорема косинусів доведення

З основної тригонометричної тотожності  випливає, що . Зазначимо, що права частина цієї рівності є різницею квадратів, тому за формулами скороченого множення, вона може бути представлена у вигляді:

Підставимо в останню рівність вирази для косинуса, приведемо до спільного знаменника дроби в дужках і перетворимо їх, групуючи і використовуючи формули скороченого множення:

Теорема Герона доведення

Враховуючи далі, що AB + AC + BC = 2 * pAB + AC - BC = 2 * p - 2 * BCBC + AC - AC = 2 * p - 2 * AC і BC - AB + AC = 2 * p - 2 * AB, отримаємо:

Добудемо корінь квадратний з лівої і правої частин останньї рівності:

Таким чином, підставляючи знайдене значення синуса у формулу площі, остаточно отримаємо:

Теорема Герона доведення

Тобто, теорема Герона доведена.

Формула Герона – розв’язування задач:

Приклад 1: знайти площу трикутника, сторони AB, BC і AC якого дорівнюють 3 см., 4 см. і 5 см. відповідно.

Отже, скориставшись формулою p = (AB + BC + AC) / 2, знайдемо напівпериметр заданого трикутника:

p = (AB + BC + AC) / 2 = (3 + 4 + 5) / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Підставляючи далі  і сторини у формулу Герона, знаходимо площу трикутника:

Плоша трикутника ABC

Приклад 2: у прямокутному трикутнику довжина гіпотенузи AC дорівнює 17 см., а катета AB – 8 см. Знайти площу трикутника ABC.

Як знайти площу трикутника, формула Герона

Прямокутний трикутник ABC

Отже, для початку, застосувавши теорему Піфагора, знайдемо довжину катета BC:

Далі, обчисливши напівпериметр , та підставивши його значення та значення довжин сторін AB, BC та AC у формулу Герона, знайдемо шукану площу:

Приклад 3: знайти висоту BE трапеції ABCD, велика і мала основи якої рівні 23 см. і  відповідно, а бічні сторони AB = 14 см. і CD = 15 см.

Як знайти площу трикутника, формула Герона

Трапеція ABCD

Проведемо через вершину B верхньої основи трапеції пряму BF, паралельну бічній стороні CD. В результаті отримаємо трикутник ABF. Зазначимо, що для даного трикутника відомими являються всі три сторони. Отже, за формулою Герона, попередньо обчисливши напівпериметр, знаходимо площу цього трикутника:

Звідси, BE = (2 * S) / AF = (2 * 84) / 3 = 12.9 см.

Блок-схема алгоритму знаходження площі трикутника

Як знайти площу трикутника блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*