Теорема Герона: формула і розв’язування прикладів

Ми знаємо, як знайти площу трикутника за його стороною та проведеною до неї висотою: , а також за двома сторонами і куту між ними: . В даному параграфі введемо та доведемо теорему про знаходження площі трикутника за трьома відомими сторонами. Ця теорема носить назву теорема Герона (також називають формула Герона).

Трикутник ABC

Теорема Герона – площа трикутника зі сторонами ,  і  обчислюється за формулою , де  – напівпериметр трикутника .

Розглянемо один з можливих варіантів її доведення. Отже, як зазначалося вище, площа трикутника може бути обчислена за формулою , де  – кут трикутник , що лежить проти сторони .

Тоді, згідно з теоремою косинусів, матимемо: . Виразивши з останньої рівності , отримаємо:

З основної тригонометричної тотожності  випливає, що . Зазначимо, що права частина цієї рівності є різницею квадратів, тому за формулами скороченого множення, вона може бути представлена у вигляді:

Підставимо в останню рівність вирази для косинуса, приведемо до спільного знаменника дроби в дужках і перетворимо їх, групуючи і використовуючи формули скороченого множення:

Враховуючи далі, що , ,  і , отримаємо:

Добудемо корінь квадратний з лівої і правої частин останньї рівності:

Таким чином, підставляючи знайдене значення синуса у формулу площі, остаточно отримаємо:

Тобто, теорема Герона доведена.

Формула Герона – розв’язування задач:

Приклад 1: знайти площу трикутника, сторони ,  і  якого дорівнюють ,  і  відповідно.

Отже, скориставшись формулою , знайдемо напівпериметр заданого трикутника:

Підставляючи далі  і сторини у формулу Герона, знаходимо площу трикутника:

Приклад 2: у прямокутному трикутнику довжина гіпотенузи  дорівнює , а катета  – . Знайти площу трикутника .

Прямокутний трикутник ABC

Отже, для початку, застосувавши теорему Піфагора, знайдемо довжину катета :

Далі, обчисливши напівпериметр , та підставивши його значення та значення довжин сторін ,  та  у формулу Герона, знайдемо шукану площу:

Приклад 3: знайти висоту  трапеції , велика і мала основи якої рівні  і  відповідно, а бічні сторони  і .

Трапеція ABCD

Проведемо через вершину  верхньої основи трапеції пряму , паралельну бічній стороні . В результаті отримаємо трикутник . Зазначимо, що для даного трикутника відомими являються всі три сторони. Отже, за формулою Герона, попередньо обчисливши напівпериметр, знаходимо площу цього трикутника:

Звідси, .

Блок-схема алгоритму знаходження площі трикутника