Трикутник – це одна з базових фігур, утворена трьома відрізками прямих, що перетинаються. Точки перетину називаються вершинами, а самі відрізки сторонами трикутника. У найпростішому випадку, для того щоб знайти периметр трикутника, необхідно знати довжини всіх його стороін. В такому випадку, периметр трикутника обчислюється як сума довжин його сторін: .
В окремому випадку, для рівностороннього трикутника, дана формула прийме наступного вигляду: . Тобто, довжина сторони, помножена на три. Якщо трикутник буде рівнобедреним, то формула може бути записана у вигляді:
, де
– бічні сторони трикутника і
– основа.
Зауваження: якщо скористатись позначеннями , то формули для обчислення периметра різностороннього, рівнобедреного та рівностороннього трикутників перепишуться як
відповідно.
Площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони та проведеної до неї висоти. Для доведення даного твердження, розглянемо трикутник і його висоту
. Покажемо, що
.
Площа трикутника як половина площі паралелограма
Для цього, через вершини і
трикутника проведемо прямі, паралельні сторонам
і
відповідно. Нехай ці прямі перетинаються в точці
. Чотирикутник
– паралелограм за означенням. Трикутники
і
рівні (
та
, як протилежні сторони паралелограма і
– спільна). Отже, їх площі також рівні. Тоді, площа трикутника
дорівнює половині площі паралелограма
. Висота
трикутника
є також висотою паралелограма
. Звідси,
.
Зауваження: якщо скористатись відповідними позначеннями для висот і сторін трикутника , то згідно з доведеним твердженням маємо:
, де
і
– висоти опущені на сторони
та
відповідно.
Відмітимо, що з доведеного вище твердження випливає, що площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів. Доведемо істинність і даного твердження.
Площа прямокутного трикутника як половина площі прямокутника
Отже, розглянемо прямокутний трикутник . Для даного трикутника, аналогічним чином, через вершини
та
проведемо прямі, паралельні сторонам
і
відповідно. Нехай дані прямі перетинаються в точці
. Чотирикутник
– прмокутник. А як відомо, площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін.
Якщо в прямокутнику провести діагональ, то вона розбиває його на два рівних прямокутних трикутника ( та
, як протилежні сторони прямокутника і
– спільна). Площі цих трикутників є рівними між собою і кожна дорівнює половині від площі всього прямокутника. Таким чином доведено, що площа трикутника
, в даному випадку, рівна половині добутку його катетів.
Периметр трикутника – приклад:
Точка лежить на стороні
трикутника
. Периметр трикутника
і
дорівнює
та
відповідно, і відрізок
. Знайти периметр трикутника
.
Трикутник ABC
Виходячи з того, що, за умовою, периметр трикутника дорівнює
, а сторона
, приходимо до висновку, що
. З аналогічних міркувань, для трикутника
отримаємо:
. Звідси, для периметра трикутника
будемо мати:
.
Площа трикутника – приклад:
У прямокутному трикутнику побудований відрізок
, причому
. Знайти площу трикутника
, якщо
і
.
Трикутник ABC
Так як сторона трикутника
перпендикулярна стороні
, то
– висота тупокутного трикутника
, опущена з вершини
на продовження сторони
. Отже, скориставшись твердженням, яке говорить про те, що площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони, для шуканої площі отримаємо:
.