Розв’язування трикутників: типи задач на розв’язування трикутників

Трикутники

Розв’язування трикутників – це процес знаходження його невідомих сторін і кутів (іноді інших елементів) за даними, що визначають трикутник. Задачі такого типу часто зустрічається на практиці, наприклад в геодезії, астрономії, будівництві, навігації.

Розв'язування трикутників, як знайти сторону трикутника

Трикутник ABC

Розглянемо алгоритми рішення трьох задач.

  1. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутку між ними: нехай в трикутнику ABC сторони AB, BC і кут β являються відомими. Необхідно знайти сторону AC і кути α та γ.

    Отже, по теоремі косинусів, матимемо Розв'язування трикутників формули; за наслідком з теореми косинусів Розв'язування трикутників формули (градусна міра кута γ знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці); α = 180° - β - γ.

    Зауваження: знаходження кута γ по теоремі синусів (AB / sin(γ) = AC / sin(β), sin(γ) = (AB * sin(β)) / AC) вимагає з’ясування того, чи являється цей кут гострим чи тупим.

  2. Розв’язування трикутників за стороною і двома прилеглими до неї кутами: нехай в трикутнику ABC сторона AB і кути α та β – задані. Необхідно знайти сторони BC, AC і кут γ.

    Отже, γ = 180° - α - β; по теоремі синусів AB / sin(γ) = BC / sin(α), BC = (AB * sin(α)) / sin(γ) (sin(α) і sin(γ) знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці); сторону AC можна знайти за допомогою теореми косинусів або теореми синусів: Розв'язування трикутників формули або AB / sin(γ) = AC / sin(β), AC = (AB * sin(β)) / sin(γ) (cos(β) і sin(β) знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці).

  3. Розв’язування трикутників за трьома сторонами: сторони AB, BC і AC задані. Необхідно знайти кути α, β, γ і радіус описаного кола R.

    Розв'язування трикутників, знайти кут трикутника за трьома сторонами

    Розв’язування трикутників за трьома сторонами

    Скориставшись одним з наслідків теореми косинусів знайдемо Розв'язування трикутників формули (знаючи cos(γ), кут γ знаходимо за допомогою калькулятора або таблиці); аналогічним чином знаходимо кут α; кут β = 180° - α - γ; радіус описаного кола R трикутника ABC знаходиться за формулою R = (AB * BC * AC) / (4 * S), де Формула Герона і p = (AB + BC + AC) / 2.

    Зауваження: другим способом знаходження R буде знаходження косинуса будь-якого кута за допомогою теореми косинусів (Розв'язування трикутників формули), потім знаходження по косинусу кута його синуса () і, нарешті, використання теореми синусів (AB / sin(γ) = 2 * R) для знаходження R.

Розв’язування трикутників задачі:

Приклад 1: сторони AB, BC і AC трикутника ABC рівні 10 см., 12 см. і 17 см. відповідно. Знайти градусну міру кутів α, β і γ даного триктуника.

Як видно з умови, розглядається задача розв’язування трикутників за трьома сторонами (задача номер три вище). Отже, згідно з наслідком, який випливає з теореми косинусів матимето:

Розв'язування трикутників задачі

Далі, виходячи з того, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, отримаємо:

β = 180° - α - γ = 180° - 41.287° - 46.763° = 91.95°

Приклад 2: довжини двох сторін AB та AC трикутника ABC рівні 5 см. і 7 см. Кут α, що міститься між цими сторонами дорівнює 60°. Знайти сторону трикутника BC і кути β та γ.

Отже, по теоремі косинусів, для сторони BC заданого трикутника будемо мати:

Як знайти сторону трикутника

Далі, записавши наслідок з теореми косинусів (Розв'язування трикутників формули) і підставивши відомі дані, отримаємо:

Розв'язування трикутників задачі

І на останньому кроці:

β = 180° - α - γ = 180° - 60° - 41.286° = 78.714°

Приклад 3: розв’язати трикутник за стороною AB = 15 см. і двом кутам α = 45° і β = 60°.

Отже, третій кут γ визначаємо виходячи з суми кутів трикутника:

γ = 180° - α - β = 180° - 45° - 60° = 75°

Далі, по теоремі синусів, знайдемо сторони трикутника BC та AC:

Як знайти сторони трикутника

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*