Розв’язування трикутників – це процес знаходження його невідомих сторін і кутів (іноді інших елементів) за даними, що визначають трикутник. Задачі такого типу часто зустрічається на практиці, наприклад в геодезії, астрономії, будівництві, навігації.
Трикутник ABC
Розглянемо алгоритми рішення трьох задач.
-
Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутку між ними: нехай в трикутнику
сторони
,
і кут
являються відомими. Необхідно знайти сторону
і кути
та
.
Отже, по теоремі косинусів, матимемо
; за наслідком з теореми косинусів
(градусна міра кута
знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці);
.
Зауваження: знаходження кута
по теоремі синусів (
) вимагає з’ясування того, чи являється цей кут гострим чи тупим.
-
Розв’язування трикутників за стороною і двома прилеглими до неї кутами: нехай в трикутнику
сторона
і кути
та
– задані. Необхідно знайти сторони
,
і кут
.
Отже,
; по теоремі синусів
(
і
знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці); сторону
можна знайти за допомогою теореми косинусів або теореми синусів:
або
(
і
знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці).
-
Розв’язування трикутників за трьома сторонами: сторони
,
і
задані. Необхідно знайти кути
,
,
і радіус описаного кола
.
Розв’язування трикутників за трьома сторонами
Скориставшись одним з наслідків теореми косинусів знайдемо
(знаючи
, кут
знаходимо за допомогою калькулятора або таблиці); аналогічним чином знаходимо кут
; кут
; радіус описаного кола
трикутника
знаходиться за формулою
, де
і
.
Зауваження: другим способом знаходження
буде знаходження косинуса будь-якого кута за допомогою теореми косинусів (
), потім знаходження по косинусу кута його синуса (
) і, нарешті, використання теореми синусів (
) для знаходження
.
Розв’язування трикутників задачі:
Приклад 1: сторони ,
і
трикутника
рівні
,
і
відповідно. Знайти градусну міру кутів
,
і
даного триктуника.
Як видно з умови, розглядається задача розв’язування трикутників за трьома сторонами (задача номер три вище). Отже, згідно з наслідком, який випливає з теореми косинусів матимето:
Далі, виходячи з того, що сума кутів трикутника дорівнює , отримаємо:
Приклад 2: довжини двох сторін та
трикутника
рівні
і
. Кут
, що міститься між цими сторонами дорівнює
. Знайти сторону трикутника
і кути
та
.
Отже, по теоремі косинусів, для сторони заданого трикутника будемо мати:
Далі, записавши наслідок з теореми косинусів () і підставивши відомі дані, отримаємо:
І на останньому кроці:
Приклад 3: розв’язати трикутник за стороною і двом кутам
і
.
Отже, третій кут визначаємо виходячи з суми кутів трикутника:
Далі, по теоремі синусів, знайдемо сторони трикутника та
: