Розв’язування трикутників: типи задач на розв’язування трикутників

Розв’язування трикутників – це процес знаходження його невідомих сторін і кутів (іноді інших елементів) за даними, що визначають трикутник. Задачі такого типу часто зустрічається на практиці, наприклад в геодезії, астрономії, будівництві, навігації.

Трикутник ABC

Розглянемо алгоритми рішення трьох задач.

1. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутку між ними: нехай в трикутнику  сторони ,  і кут  являються відомими. Необхідно знайти сторону  і кути  та .

   Отже, по теоремі косинусів, матимемо ; за наслідком з теореми косинусів  (градусна міра кута  знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці); .

   Зауваження: знаходження кута  по теоремі синусів () вимагає з’ясування того, чи являється цей кут гострим чи тупим.

2. Розв’язування трикутників за стороною і двома прилеглими до неї кутами: нехай в трикутнику  сторона  і кути  та  – задані. Необхідно знайти сторони ,  і кут .

   Отже, ; по теоремі синусів  ( і  знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці); сторону можна знайти за допомогою теореми косинусів або теореми синусів:  або  ( і  знаходиться за допомогою калькулятора або таблиці).

3. Розв’язування трикутників за трьома сторонами: сторони ,  і  задані. Необхідно знайти кути , ,  і радіус описаного кола .

   

   Розв’язування трикутників за трьома сторонами

   Скориставшись одним з наслідків теореми косинусів знайдемо  (знаючи , кут знаходимо за допомогою калькулятора або таблиці); аналогічним чином знаходимо кут ; кут ; радіус описаного кола  трикутника  знаходиться за формулою , де  і .

   Зауваження: другим способом знаходження буде знаходження косинуса будь-якого кута за допомогою теореми косинусів (), потім знаходження по косинусу кута його синуса () і, нарешті, використання теореми синусів () для знаходження .

Розв’язування трикутників задачі:

Приклад 1: сторони , і трикутника рівні ,  і  відповідно. Знайти градусну міру кутів ,  і  даного триктуника.

Як видно з умови, розглядається задача розв’язування трикутників за трьома сторонами (задача номер три вище). Отже, згідно з наслідком, який випливає з теореми косинусів матимето:

Далі, виходячи з того, що сума кутів трикутника дорівнює , отримаємо:

Приклад 2: довжини двох сторін  та  трикутника  рівні  і . Кут , що міститься між цими сторонами дорівнює . Знайти сторону трикутника  і кути  та .

Отже, по теоремі косинусів, для сторони  заданого трикутника будемо мати:

Далі, записавши наслідок з теореми косинусів () і підставивши відомі дані, отримаємо:

І на останньому кроці:

Приклад 3: розв’язати трикутник за стороною  і двом кутам  і .

Отже, третій кут  визначаємо виходячи з суми кутів трикутника:

Далі, по теоремі синусів, знайдемо сторони трикутника  та :