У світі геометрії і тригонометрії є безліч теорем, які допомагають нам розуміти й вирішувати складні задачі. Одна з них – теорема косинусів, яка має широке застосування в різних областях. У цій статті ми детально розглянемо формулу теореми косинусів, наслідки її застосування та приведемо кілька прикладів, щоб краще зрозуміти, як вона працює.
Навігація по сторінці.
Що таке теорема косинусів?
Теорема косинусів є математичним твердженням яке дозволяє виразити довжину будь-якої сторони трикутника через довжини двох інших його сторін і косинус кута між ними.
Наприклад, довжину сторони BC трикутника ABC можна виразити через довжини сторін AB та AC і cos(α). Теорему косинусів можна назвати самою «використовуваною» в геометрії. Вона має численні наслідки, які часто використовуються при розв’язуванні задач.
Формула теореми косинусів.
Теорема косинусів формулюється так: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними. Математично це можна записати наступним чином:
Зазначимо, що кожна з цих формул дозволяє розрахувати довжину будь-якої сторони трикутника або визначити значення кута, використовуючи відомі значення інших сторін та кута між ними.
Доведення теореми косинусів.
Для доведення теореми косинусів, розглянемо трикутник ABC для якого ∠A=α і BC – протилежна йому сторона. Зазначимо, що кут α може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо кожен з цих випадків.
Доведення теореми косинусів для трикутників з гострим кутом α:
Проведемо висоту BD до сторони AC трикутника ABC. Тоді, відповідно до визначень синуса і косинуса кута прямокутного трикутника, справедливі наступні рівності: BD=AB·sin(α), AD=AB·cos(α), DC=AC-AB·cos(α).
Розглянемо далі прямокутний трикутник DBC. Використовуючи теорему Піфагора для даного трикутника, отримаємо:
Враховуючи далі, що sin2(α)+cos2(α)=1, остання рівність перепишеться у вигляді BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos(α). Тобто, для випадку трикутника ABC з гострим кутом A теорема косинусів доведена.
Доведення теореми косинусів для трикутників з тупим кутом α:
Знову-таки, проведемо висоту BD до сторони AC трикутника ABC. Так як A – кут біля основи, то побудована висота впиратиметься в продовження основи AC.
В результаті отримаємо два прямокутних трикутника DBA і DBC. Розглянемо трикутник DBA. Не важко переконатись, що градусна міра кута DAB цього трикутника дорівнює (180°-α). Тоді, справедливими являються наступні рівності: BD=AB·sin(180°-α), AD=AB·cos(180°-α) і DC=AC+AB·cos(180°-α).
Далі, для триктуника DBC, по теоремі Піфагора, матимемо:
Виходячи з того, що sin2(180°-α)+cos2(180°-α)=1 і cos(180°-α)=-cos(α), остання рівність перепишеться у вигляді BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos(α). Тобто, для випадку з тупим кутом A, теорему косинусів також доведено.
Доведення теореми косинусів для прямокутних трикутників з кутом α:
Якщо α=90°, то по теоремі Піфагора BC2=AB2+AC2. Так як cos(90°)=0, то BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos(90°). Таким чином, теорема Піфагора – окремий випадок теореми косинусів.
Наслідки теореми косинусів.
Теорема косинусів має кілька наслідків, які можуть бути корисними при вирішенні різних геометричних задач. Ось декілька з них:
Визначення кутів з використанням теореми косинусів:
Теорема косинусів дозволяє, знаючи три сторони трикутника, знайти його кути (косинуси кутів). До прикладу з рівності BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos(α) випливає формула:
Зауваження: для кутів β і γ матимемо
Виявлення виду трикутника за допомогою теореми косинусів:
За допомогою теореми косинусів можна за трьома сторонами визначити вид трикутника: гострокутний, прямокутний або тупокутний. Так, з формули cos(α)=(AB2+AC2-BC2)/(2·AB·AC), з урахуванням того, що 2·AB·AC>0, випливає:
- якщо AB2+AC2-BC2>0, то cos(α)>0 і кут α гострий;
- якщо AB2+AC2-BC2<0, то cos(α)<0 і кут α тупий;
- якщо AB2+AC2-BC2=0, то cos(α)=0 і кут α прямої.
Зауваження: при визначенні виду трикутника досить знайти знак косинуса кута, лежачого проти більшої сторони, оскільки тільки більший кут трикутника може бути прямим або тупим.
Паралелограм та теорема косинусів:
Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін: BD2+AC2=2*AB2+2*AD2.
Доведемо дане твердження. Для цього, припустимо, що в паралелограмі ABCD, ∠A=α – гострий. Зазначимо, що в такому випадку, ∠B=(180°-α) – тупий. Тоді, по теоремі косинусів з трикутників ABD та ABC матимемо:
Додавши далі почленно отримані рівності, врахувавши при цьому, що cos(180°-α)=-cos(α), отримаємо BD2+AC2=2·AB2+2·AD2, що і треба було довести.
Дана формула дає можливість:
- знаючи дві сусідні сторони і одну з діагоналей паралелограма, знайти іншу діагональ;
- знаючи дві діагоналі і одну зі сторін паралелограма, знайти сусідню з нею сторону.
Обчислення медіани за формулою теореми косинусів:
Довжина медіани AD трикутника ABC обчислюється за формулою:
Доведемо дане твердження також. Для цього, продовжимо медіану AD за точку D на її довжину (AD=DE) та проведемо відрізки BE і CE.
Так як у чотирикутника ABCD діагоналі BC і AE точкою перетину діляться навпіл, то він – паралелограм. По властивості діагоналей паралелограма:
Звідси,
що і треба було довести.
Формула медіани дозволяє:
- знаючи три сторони трикутника, знайти будь-яку з його медіан;
- знаючи дві сторони і медіану, проведену до третьої сторони, знайти третю сторону;
- знаючи три медіани трикутника, знайти будь-яку зі сторін трикутника.
Застосування теореми косинусів в прикладах.
Тепер розглянемо декілька прикладів застосування теореми косинусів для розв’язування різних геометричних задач.
Приклад 1: у трикутнику сторони AB=8 см, BC=5 см, AC=7 см. Знайти градусну міру кута B.
Отже, по теоремі косинусів маємо:
Звідси, ∠α=∠β=60°.
Приклад 2: з’ясувати, яким є трикутник зі сторонами AB=5 см, BC=6 см, AC=7 см.
Для цього, як зазначалося вище, необхідно знайти знак косинуса кута, що лежить проти більшої сторони. Зазначимо, що в нашому випадку такою являється сторона AC.
Отже, виходячи з того, що AB2+BC2-AC2=52+62-72=25+37-49=12>0, приходимо до висновку, що cos(β)>0. Звідси, трикутник ABC гострокутний.
Приклад 3: дві сторони AB і BC трикутника дорівнюють 5 см і 10 см відповідно. Його площа – 25 см2. Знайти третю сторону трикутника.
Отже, оскільки SABC=(AB·BC·sin(β))/2, то 25=(5·10·sin(β))/2, звідки sin(β)=1.
Так як sin(90°)=1, то ∠B=β=90°. Для знаходження сторони AC застосуємо теорему косинусів:
Звідси, AC=5·√5 см.
Дивіться також:
Тема тангенс кута надзвичайно цікава та корисна для розуміння геометрії та тригонометрії. Однак, є й інші важливі теми, які можуть поглибити ваші знання та сприяти кращому розумінню цієї концепції. Отже, в рамках вивчення тангенса кута, вам можуть бути корисні наступні теми:
- Теорема синусів – застосування та приклади.
- Синус кута – формули та приклади.
- Косинус кута – формули та приклади.
- Тангенс кута – властивості та застосування.
- Теорема Піфагора – формула і доведення.