Теорема косинусів дозволяє виразити довжину будь-якої сторони трикутника через довжини двох інших його сторін і косинус кута між ними. Наприклад, довжину сторони трикутника
через довжини сторін
та
і
. Теорему косинусів можна назвати самою «використовуваною» в геометрії. Вона має численні наслідки, які часто використовуються при розв’язуванні задач.
Трикутник ABC
Теорема косинусів формулюється так: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними, тобто:
Доведемо теорему. Для цього, розглянемо трикутник для якого
і
– протилежна йому сторона. Зазначимо, що кут
може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо кожен з цих випадків.
- Кут
– гострий: проведемо висоту
до сторони
трикутника
. Тоді, відповідно до визначень синуса і косинуса кута прямокутного трикутника, справедливі наступні рівності:
,
,
.
Трикутник ABC (кут α – гострий)
Розглянемо далі прямокутний трикутник
. З теореми Піфагора, застосованої до даного трикутника, отримаємо:
Враховуючи, що
, остання рівність перепишеться у вигляді
. Тобто, для випадку трикутника
з гострим кутом
теорема косинусів доведена.
-
Кут
– тупий: знову-таки, проведемо висоту
до сторони
трикутника
. Так як
– кут біля основи, то побудована висота впиратиметься в продовження основи
.
Трикутник ABC (кут α – тупий)
В результаті отримаємо два прямокутних трикутника
і
. Розглянемо трикутник
. Не важко переконатись, що градусна міра кута
цього трикутника дорівнює
. Тоді, справедливими являються наступні рівності:
,
і
.
Далі, для триктуника
, по теоремі Піфагора, матимемо:
Виходячи з того, що
і
, остання рівність перепишеться у вигляді
. Тобто, для випадку з тупим кутом
, теорему косинусів також доведено.
-
Кут
– прямий: якщо
, то по теоремі Піфагора
. Так як
, то
. Таким чином, теорема Піфагора – окремий випадок теореми косинусів.
За допомогою теореми косинусів можна розв’язувати наступні задачі:
- знаючи дві сторони і кут між ними, знайти третю сторону трикутника;
- знаючи дві сторони і кут, протилежний одній з цих сторін, знайти третю сторону.
Розглянемо наслідки з теореми косинусів, які дають можливість вирішити ще цілий ряд задач.
-
Теорема косинусів дозволяє, знаючи три сторони трикутника, знайти його кути (косинуси кутів). До прикладу з рівності
випливає формула:
Зауваження: для кутів
і
матимемо
-
За допомогою теореми косинусів можна за трьома сторонами визначити вид трикутника: гострокутний, прямокутний або тупокутний. Так, з формули
, з урахуванням того, що
, випливає:
- якщо
, то
і кут
гострий;
- якщо
, то
і кут
тупий;
- якщо
, то
і кут
прямої.
Зауваження: при визначенні виду трикутника досить знайти знак косинуса кута, лежачого проти більшої сторони, оскільки тільки більший кут трикутника може бути прямим або тупим.
- якщо
-
Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін:
.
Паралелограм ABCD
Доведемо дане твердження. Для цього, припустимо, що в паралелограмі
,
– гострий. Зазначимо, що в такому випадку,
– тупий. Тоді, по теоремі косинусів з трикутників
та
матимемо:
Додавши далі почленно отримані рівності, врахувавши при цьому, що
, отримаємо
, що і треба було довести.
Дана формула дає можливість:
- знаючи дві сусідні сторони і одну з діагоналей паралелограма, знайти іншу діагональ;
- знаючи дві діагоналі і одну зі сторін паралелограма, знайти сусідню з нею сторону.
-
Довжина медіани
трикутника
обчислюється за формулою:
.
Трикутник ABC
Доведемо дане твердження також. Для цього, продовжимо медіану
за точку
на її довжину (
) та проведемо відрізки
і
. Так як у чотирикутника
діагоналі
і
точкою перетину діляться навпіл, то він – паралелограм. По властивості діагоналей паралелограма:
Звідси,
, що і треба було довести.
Формула медіани дозволяє:
- знаючи три сторони трикутника, знайти будь-яку з його медіан;
- знаючи дві сторони і медіану, проведену до третьої сторони, знайти третю сторону;
- знаючи три медіани трикутника, знайти будь-яку зі сторін трикутника.
Теорема косинусів – розв’язування задач:
Приклад 1: у трикутнику сторони
. Знайти градусну міру кута
.
Отже, по теоремі косинусів маємо:
Звідси, .
Приклад 2: з’ясувати, яким є трикутник зі сторонами
.
Для цього, як зазначалося вище, необхідно знайти знак косинуса кута, що лежить проти більшої сторони. Зазначимо, що в нашому випадку такою являється сторона . Отже, виходячи з того, що
, приходимо до висновку, що
. Звідси, трикутник
гострокутний.
Приклад 3: дві сторони і
трикутника
дорівнюють
і
відповідно. Його площа –
. Знайти третю сторону трикутника.
Отже, оскільки , то
, звідки
.
Так як , то
. Для знаходження сторони
застосуємо теорему косинусів:
Звідси, .