Теорема косинусів для трикутника: формула і розв'язки задач

Теорема косинусів дозволяє виразити довжину будь-якої сторони трикутника через довжини двох інших його сторін і косинус кута між ними. Наприклад, довжину сторони трикутника через довжини сторін та і . Теорему косинусів можна назвати самою «використовуваною» в геометрії. Вона має численні наслідки, які часто використовуються при розв’язуванні задач.

Теорема косинусів

Трикутник ABC

Теорема косинусів формулюється так: квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними, тобто:

Доведемо теорему. Для цього, розглянемо трикутник для якого і – протилежна йому сторона. Зазначимо, що кут може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо кожен з цих випадків.

Кут – гострий: проведемо висоту до сторони трикутника . Тоді, відповідно до визначень синуса і косинуса кута прямокутного трикутника, справедливі наступні рівності: , , .

Трикутник ABC (кут α – гострий)

Розглянемо далі прямокутний трикутник . З теореми Піфагора, застосованої до даного трикутника, отримаємо:

Враховуючи, що , остання рівність перепишеться у вигляді . Тобто, для випадку трикутника з гострим кутом теорема косинусів доведена.
Кут – тупий: знову-таки, проведемо висоту до сторони трикутника . Так як – кут біля основи, то побудована висота впиратиметься в продовження основи .

Трикутник ABC (кут α – тупий)

В результаті отримаємо два прямокутних трикутника і . Розглянемо трикутник . Не важко переконатись, що градусна міра кута цього трикутника дорівнює . Тоді, справедливими являються наступні рівності: , і .

Далі, для триктуника , по теоремі Піфагора, матимемо:

Виходячи з того, що і , остання рівність перепишеться у вигляді . Тобто, для випадку з тупим кутом , теорему косинусів також доведено.
Кут – прямий: якщо , то по теоремі Піфагора . Так як , то . Таким чином, теорема Піфагора – окремий випадок теореми косинусів.

За допомогою теореми косинусів можна розв’язувати наступні задачі:

знаючи дві сторони і кут між ними, знайти третю сторону трикутника;
знаючи дві сторони і кут, протилежний одній з цих сторін, знайти третю сторону.

Розглянемо наслідки з теореми косинусів, які дають можливість вирішити ще цілий ряд задач.

Теорема косинусів дозволяє, знаючи три сторони трикутника, знайти його кути (косинуси кутів). До прикладу з рівності випливає формула:

Зауваження: для кутів і матимемо
За допомогою теореми косинусів можна за трьома сторонами визначити вид трикутника: гострокутний, прямокутний або тупокутний. Так, з формули , з урахуванням того, що , випливає:
- якщо , то і кут гострий;
- якщо , то і кут тупий;
- якщо , то і кут прямої.
Зауваження: при визначенні виду трикутника досить знайти знак косинуса кута, лежачого проти більшої сторони, оскільки тільки більший кут трикутника може бути прямим або тупим.
Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін: .

Паралелограм ABCD

Доведемо дане твердження. Для цього, припустимо, що в паралелограмі , – гострий. Зазначимо, що в такому випадку, – тупий. Тоді, по теоремі косинусів з трикутників та матимемо:

Додавши далі почленно отримані рівності, врахувавши при цьому, що , отримаємо , що і треба було довести.

Дана формула дає можливість:
- знаючи дві сусідні сторони і одну з діагоналей паралелограма, знайти іншу діагональ;
- знаючи дві діагоналі і одну зі сторін паралелограма, знайти сусідню з нею сторону.
Довжина медіани трикутника обчислюється за формулою: .

Трикутник ABC

Доведемо дане твердження також. Для цього, продовжимо медіану за точку на її довжину () та проведемо відрізки і . Так як у чотирикутника діагоналі і точкою перетину діляться навпіл, то він – паралелограм. По властивості діагоналей паралелограма:

Звідси, , що і треба було довести.

Формула медіани дозволяє:
- знаючи три сторони трикутника, знайти будь-яку з його медіан;
- знаючи дві сторони і медіану, проведену до третьої сторони, знайти третю сторону;
- знаючи три медіани трикутника, знайти будь-яку зі сторін трикутника.

Теорема косинусів – розв’язування задач:

Приклад 1: у трикутнику сторони . Знайти градусну міру кута .

Отже, по теоремі косинусів маємо:

Звідси, .

Приклад 2: з’ясувати, яким є трикутник зі сторонами .

Для цього, як зазначалося вище, необхідно знайти знак косинуса кута, що лежить проти більшої сторони. Зазначимо, що в нашому випадку такою являється сторона . Отже, виходячи з того, що , приходимо до висновку, що . Звідси, трикутник гострокутний.