Медіани трикутника, їх властивості та використання для розв’язування задач

Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, а також пряма, яка містить цей відрізок.

Кожен трикутник має рівно три медіани, по одній з кожної вершини, і всі вони перетинаються в центрі трикутника. У разі рівнобедреного і рівностороннього трикутників, медіана ділить навпіл будь-який кут у вершині для якого дві суміжні сторони рівні.

Розглянемо властивості медіан трикутника:

1. У всякому трикутнику медіани перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні  рахуючи від вершини.

   

   Медіани трикутника перетинаються в точці О

   Доведемо дану властивість. Для цього розглянемо трикутник  для якого проведемо дві медіани   і , що перетинаються в точці  та послідовно сполучимо точки  і  та середини відрізків  і  відповідно.

   Оскільки  – середня лінія трикутника , то  і . В трикутнику  пряма  – середня лінія, , . Звідси,  і . Отже, чотирикутник  – паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма  і . Тоді,  і . Тобто, , що і треба було довести.

   Зауваження: провівши третю медіану, аналогічно можна показати, що точка перетину медіан також поділяє її у відношенні .

2. Медіани трикутника ділять його на шість рівновеликих трикутників.

   Для доведення даної властивості, скористаємося тим фактом, що медіана розбиває трикутник на два рівновеликих, тобто площі трикутників  і  однакові.

   

   Медіани трикутника ABC

   Отже, згідно з властивістю номер один, всі медіани трикутника перетинаються в одній точці . Так як точки  – середини сторін трикутника, то  і , а також  и  рівновеликі. Значить  і  також рівновеликі. Але і складаються з двох рівних за площею трикутників, тобто всі шість трикутників мають однакову площу, рівну  площі даного трикутника.

3. Довжини медіан трикутника  обчислюються за формулами:

   

   Для доведення даної властивості, скористаємося одним з дуже зручних прийомів, властивим медіані, а саме добудуємо трикутник  до паралелограма, провівши  і . Легко побачити, що  буде точкою перетину діагоналей паралелограма .

   

   Медіана AD трикутника ABC

   Отже, довжина діагоналі  дорівнює , а друга діагональ рівна довжині сторони  трикутника . Скориставшись тим фактом, що сума квадратів довжин діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін, отримуємо рівність:

   

   Звідки випливає, що

   

   Тобто перша з доказуваних формул доведена. Аналогічно доводяться і інші формули.

Медіана трикутника – розв’язування задач:

Приклад 1: у трикутнику сторони  і  дорівнюють  та  відповідно і . Знайти медіану, проведену до сторони .

Для початку, за теоремою косинусів, знайдемо сторону  заданого трикуника:

Тобто, . Далі, скористаємося формулою для обчислення довжини медіани , отримаємо:

Приклад 2: нехай точка – середина сторони  паралелограма . Відрізки  і  перетинаються в точці . Знайдіть , якщо .

Паралелограм ABCD

Отже, нехай – точка перетину діагоналей паралелограма. Як відомо, діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл, тому – медіана трикутника . Тоді  – точка перетину медіан даного трикутника. А, як зазначалося вище, медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні , рахуючи від вершини, тому .

Приклад 3: усередині прямокутного трикутника  () взята точка  так, що трикутники  рівновеликі. Знайти , якщо відомо, що .

Прямокутний трикутник ABC

За умовою, трикутники  рівновеликі. Це відразу ж наводить на думку про те, що  – точка перетину медіан трикутника , а тому подальші обчислення являються очевидними:

Тоді:

Звідси, .

Блок-схема алгоритму знаходження довжини медіан трикутника