Медіана трикутника – це відрізок, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони, а також пряма, яка містить цей відрізок.
Кожен трикутник має рівно три медіани, по одній з кожної вершини, і всі вони перетинаються в центрі трикутника. У разі рівнобедреного і рівностороннього трикутників, медіана ділить навпіл будь-який кут у вершині для якого дві суміжні сторони рівні.
Розглянемо властивості медіан трикутника:
-
У всякому трикутнику медіани перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні
рахуючи від вершини.
Медіани трикутника перетинаються в точці О
Доведемо дану властивість. Для цього розглянемо трикутник
для якого проведемо дві медіани
і
, що перетинаються в точці
та послідовно сполучимо точки
і
та середини відрізків
і
відповідно.
Оскільки
– середня лінія трикутника
, то
і
. В трикутнику
пряма
– середня лінія,
,
. Звідси,
і
. Отже, чотирикутник
– паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма
і
. Тоді,
і
. Тобто,
, що і треба було довести.
Зауваження: провівши третю медіану, аналогічно можна показати, що точка перетину медіан також поділяє її у відношенні
.
-
Медіани трикутника ділять його на шість рівновеликих трикутників.
Для доведення даної властивості, скористаємося тим фактом, що медіана розбиває трикутник
на два рівновеликих, тобто площі трикутників
і
однакові.
Медіани трикутника ABC
Отже, згідно з властивістю номер один, всі медіани трикутника перетинаються в одній точці
. Так як точки
– середини сторін трикутника, то
і
, а також
и
рівновеликі. Значить
і
також рівновеликі. Але
і
складаються з двох рівних за площею трикутників, тобто всі шість трикутників мають однакову площу, рівну
площі даного трикутника.
-
Довжини медіан трикутника
обчислюються за формулами:
Для доведення даної властивості, скористаємося одним з дуже зручних прийомів, властивим медіані, а саме добудуємо трикутник
до паралелограма, провівши
і
. Легко побачити, що
буде точкою перетину діагоналей паралелограма
.
Медіана AD трикутника ABC
Отже, довжина діагоналі
дорівнює
, а друга діагональ рівна довжині сторони
трикутника
. Скориставшись тим фактом, що сума квадратів довжин діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів всіх його сторін, отримуємо рівність:
Звідки випливає, що
Тобто перша з доказуваних формул доведена. Аналогічно доводяться і інші формули.
Медіана трикутника – розв’язування задач:
Приклад 1: у трикутнику сторони
і
дорівнюють
та
відповідно і
. Знайти медіану, проведену до сторони
.
Для початку, за теоремою косинусів, знайдемо сторону заданого трикуника:
Тобто, . Далі, скористаємося формулою для обчислення довжини медіани
, отримаємо:
Приклад 2: нехай точка – середина сторони
паралелограма
. Відрізки
і
перетинаються в точці
. Знайдіть
, якщо
.
Паралелограм ABCD
Отже, нехай – точка перетину діагоналей паралелограма. Як відомо, діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл, тому
– медіана трикутника
. Тоді
– точка перетину медіан даного трикутника. А, як зазначалося вище, медіани трикутника в точці перетину діляться у відношенні
, рахуючи від вершини, тому
.
Приклад 3: усередині прямокутного трикутника (
) взята точка
так, що трикутники
рівновеликі. Знайти
, якщо відомо, що
.
Прямокутний трикутник ABC
За умовою, трикутники рівновеликі. Це відразу ж наводить на думку про те, що
– точка перетину медіан трикутника
, а тому подальші обчислення являються очевидними:
Тоді:
Звідси, .