Синус, косинус, тангенс і котангенс гострого кута

Нехай в прямокутному трикутнику ABC сторони BC і AC є катетами, сторона AB – гіпотенузою і один з гострих кутів дорівнює α.

синус гострого кута, косинус гострого кута, тангенс гострого кута, котангенс гострого кута

Прямокутний трикутник ABC (кут ACB – прямий)

Відношення катетів до гіпотенузи BC / AB і AC / AB, а також відношення катета до катета BC / AC і AC / BC мають спеціальні назви: синус, косинус, тангенс і котангенс гострого кута (позначаються як sin(α), cos(α), tg(α) і tg(α) відповідно).

Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:

синус гострого кута формула

Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

косинус гострого кута формула

Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого:

тангенс гострого кута формула

Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного:

котангенс гострого кута формула

Припустимо далі, що в трикутнику ABC сторони ABBC і AC дорівнюють 15 см.6 см. і 14 см. відповідно. Тоді:

Для кута β катет AB – протилежний, а катет BC – прилеглий. Тому, згідно з означеннями, матимемо:

Переглянувши отримані результати можна помітити, що синус гострого кута α прямокутного трикутника і косинус іншого гострого кута цього трикутника (дорівнює (90 ° - α)), рівні між собою, тобто cos(90 ° - α) = sin(α).

Так само, sin(90 ° - α) = cos(α), tg(90 ° - α) = ctg(α), ctg(90 ° - α) = tg(α) (до прикладу, sin(30°) = cos(60°), tg(50°) = ctg(40°)).

Значення синуса гострого кута, а також косинуса, тангенса і котангенс залежить тільки від величини кута і не залежить від розмірів і розташування прямокутного трикутника з зазначеним гострим кутом.

Це випливає з того, що прямокутні трикутники з рівним гострим кутом подібні, а у подібних трикутників відповідні сторони пропорційні.

синус гострого кута, косинус гострого кута, тангенс гострого кута, котангенс гострого кута

Подібні прямокутні трикутники

Так, в трикутнику ABC зображеному вище sin(α) = BC / AB = FG / AG = DE / AD.

Задачі на синус, косинус, тангенс, котангенс гострого кута прямокутного трикутника:

Приклад 1: катети BC та AC прямокутного трикутника ABC дорівнюють 5 см. і 10 см. відповідно. Знайти синуси гострих кутів трикутника.

Для початку, скориставшись теоремою Піфагора знайдемо довжину гіпотенузи AB:

Далі, виходячи з того, що, за визначенням, синус госторого кута – це відношення протилежного катета до гіпотенузи, отримаємо:

Приклад 2: у прямокутному трикутнику ABC один з гострих кутів дорівнює 60°, а гіпотенуза AB дорівнює 12 см. Знайти катет, прилеглий до заданого кутку.

Отже, за визначенням відношення прилеглого катета до гіпотенузи дорівнює косинусу. Тоді, в даному випадку, матимемо: cos(β) = BC / AB.

Виразивши з останнього співвідношення шуканий катет та підставами, в отриману таким чином рівність, задані значення, будемо мати:

Приклад 3: у прямокутному трикутнику ABC з катетами AB = 7 см. і BC = 12 см. Знайти тангенси кутів α та γ.

Прямокутний трикутник ABC (кут ABC – прямий)

Так як тангенс гострого кута прямокутного трикутнику дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого, то можемо записати:

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*