Теорема синусів формулювання, доведення та застосування у розв’язуванні задач

У математиці і геометрії існує безліч теорем, які надають нам важливі засоби для розв’язування складних задач. Одна з таких теорем – теорема синусів. Ця теорема дозволяє нам встановити відношення між сторонами трикутника та їх відповідними кутами. У цій статті ми розглянемо формулювання теореми синусів, її доведення та практичне застосування у розв’язуванні задач.

Що таке теорема синусів?

Теорема синусів – це математична теорема, яка встановлює зв’язок між кутами трикутника і відповідними довжинами його сторін. Вона використовується для обчислення невідомих довжин сторін або кутів трикутника, якщо відомі деякі інші довжини та кути.

Формулювання теореми синусів.

Теорема синусів стверджує, що в трикутнику відношення між довжинами сторін і синусами відповідних кутів є однаковим і дорівнює подвоєному радіусу кола, описаного навколо трикутника. Математично це можна записати наступним чином:

Доведення теореми синусів.

Для доведення теореми синусів, розглянемо деякий трикутник ABC, для якого ∠A=α,  BC – протилежна йому сторона і R – радіус описаного навколо трикутника кола. Зазначимо, що кут α може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо кожен з цих випадки окремо.

Доведення теореми синусів для трикутників з гострим кутом α:

Провівши діаметр BD і відрізок DC, отримаємо прямокутний трикутник DBC, в якому ∠BCD=90° як вписаний кут, що спирається на діаметр. Зауважимо, що ∠D=∠A=α як вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу BC.

З прямокутного трикутника DBC знаходимо sin(α)=BC/BD (де α – градусна міра кута D), тобто sin(α)=BC/(2·R). Звідси, BC/sin(α)=2·R.

Доведення теореми синусів для трикутників з тупим кутом α:

Проведемо діаметр BD і відрізок DC. У чотирикутнику ABDC по властивості вписаного чотирикутника ∠D=180°-α. З прямокутного трикутника CBD (∠BCD=90° як вписаний кут, що спирається на діаметр) sin(180°-α)=BC/BD=BC/(2·R) (де (180°-α) – градусна міра кута D).

Оскільки sin(180°-α)=sin(α), то sin(α)=BC/(2·R), звідки BC/sin(α)=2·R.

Доведення теореми синусів для трикутників з прямим кутом α:

Якщо трикутник ABC прямокутний (∠A=α=90°), то його гіпотенуза BC є також і діаметром описаного кола. В такому випадку, за теоремою синусів матимемо: BC/sin(α)=BC/sin(90°)=BC/1=BC=2·R.

Приклади задач, що використовують теорему синусів.

Теорема синусів дає можливість вирішувати широке коло задач. До прикладу, пропорція BC/sin(α)=AC/sin(β) дозволяє вирішити наступні дві задачі:

• знаючи дві сторони трикутника і кут, протилежний одній з них, знайти синус кута, протилежного іншій стороні;
• знаючи два кути трикутника і сторону, протилежну одному з цих кутів, знайти сторону, протилежну іншому куту.

За допомогою формули BC/sin(α)=2·R можна вирішити ще три задачі:

• знаючи сторону трикутника і протилежний їй кут, знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника;
• знаючи кут трикутника і радіус описаного кола, знайти сторону трикутника, протилежну даному куту;
• знаючи сторону трикутника і радіус його описаного кола, знайти синус кута, протилежного цій стороні.

Застосування теореми синусів у розв’язуванні задач.

Тепер розглянемо декілька прикладів застосування теореми синусів для розв’язування різних геометричних задач.

Приклад 1: сторона BC трикутника ABC дорівнює 3 см, градусна міра кутів A та C дорівнює α=60° і γ=45° відповідно. Знайти сторону трикутника, що лежить проти кута в 45°.

Отже, за умовою, BC=3 см, ∠A=α=60°, ∠C=γ=45° і AB – сторона, довжину якої треба знайти. Запишемо для цих сторін та кутів теорему синусів:

Виразимо далі з останньої рівності невідому сторону AB і підставимо в отриманий вираз задані значення сторін і кутів:

Таким чином, AB=2.449 см.

Приклад 2: у трикутнику ABC сторони AC=9 см, BC=8 см і ∠A=α=60°. Знайти два інших кута заданого трикутника.

Отде, за теоремою синусів маємо:

Підставивши далі в отриману рівність задані значення сторін AC та BC і кута A, знайдемо градусну міру кута B:

Далі, виходячи з того, що сума кутів трикутника дорівнює 180°, отримаємо γ=180°-α-β=180°-60°-77°=43°.

Приклад 3: знайти радіус R кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника ABC з основою AC=16 см і бічною стороною AB=BC=10 см.

Отже, за теоремою синусів маємо:

Виразивши з даної рівності радіус описаного кола R матимемо:

Знайдемо sin(α). Для цього, в трикутнику ABC проведемо висоту BD, яка, в даному випадку, буде і медіаною трикутника. Тоді, AD=AC/2=16/2=8 см. Далі, з трикутника ABD, по теоремі Піфагора, обчислимо висоту BD:

Звідси, sin(α)=BD/AB=6/10=0.6. Підставивши далі отримане значення у формулу R=BC/(2·sin(α)) знайдемо радіус R:

Таким чином, радіус кола описаного навколо рівнобедреного трикутника ABC дорівнює 8.333 см.

Дивіться також:

Під час вивчення теореми синусів можна дослідити й інші захоплюючі теми, які допоможуть збагатити розуміння цієї теореми та її застосування. Ось п’ять цікавих тем, які можуть бути корисними для подальшого дослідження:

1. Теорема косинусів – застосування та приклади.
2. Синус кута – формули та приклади.
3. Косинус кута – формули та приклади.
4. Тангенс кута – властивості та застосування.
5. Теорема Піфагора – формула і доведення.

Блок-схема алгоритму знаходження сторони трикутника за допомогою теореми синусів