Як відомо, у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона. Нехай – сторони,
– протилежні їм кути трикутника
відповідно. Якщо сторона
– велика,
– середня,
– менша, то кут
– більший,
– середній,
– менший. Встановимо точний зв’язок між довжиною сторони трикутника і величиною протилежного їй кута.
Трикутник ABC
Отже, згідно з теоремою синусів, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу кола, описаного навколо трикутника, тобто:
Доведемо дане твердження. Для цього, розглянемо деякий трикутник , для якого
,
– протилежна йому сторона і
– радіус описаного навколо трикутника кола. Зазначимо, що кут
може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо кожен з цих випадки окремо.
-
Кут
гострий: провівши діаметр
і відрізок
, отримаємо прямокутний трикутник
, в якому
як вписаний кут, що спирається на діаметр. Зауважимо, що
як вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу
. З прямокутного трикутника
знаходимо
(де
– градусна міра кута
), тобто
. Звідси,
.
Трикутник ABC (кут α – гострий)
-
Кут
тупий: проведемо діаметр
і відрізок
. У чотирикутнику
по властивості вписаного чотирикутника
. З прямокутного трикутника
(
як вписаний кут, що спирається на діаметр)
(де
– градусна міра кута
). Оскільки
, то
, звідки
.
Трикутник ABC (кут α – тупий)
-
Кут
прямий: якщо трикутник
прямокутний (
), то його гіпотенуза
є також і діаметром описаного кола. В такому випадку, за теоремою синусів матимемо:
.
Трикутник ABC (кут α – прямий)
Повторивши ті ж міркування для двох інших сторін трикутника, а саме і
, отримуємо
, що і треба було довести.
Зазначимо, що теорема синусів дає можливість вирішувати широке коло задач. До прикладу, пропорція дозволяє вирішити наступні дві задачі:
- знаючи дві сторони трикутника і кут, протилежний одній з них, знайти синус кута, протилежного іншій стороні;
- знаючи два кути трикутника і сторону, протилежну одному з цих кутів, знайти сторону, протилежну іншому куту.
За допомогою формули можна вирішити ще три задачі:
- знаючи сторону трикутника і протилежний їй кут, знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника;
- знаючи кут трикутника і радіус описаного кола, знайти сторону трикутника, протилежну даному куту;
- знаючи сторону трикутника і радіус його описаного кола, знайти синус кута, протилежного цій стороні.
Теорема синусів – розв’язування задач:
Приклад 1: сторона трикутника
дорівнює
, градусна міра кутів
та
дорівнює
і
відповідно. Знайти сторону трикутника, що лежить проти кута в
.
Отже, за умовою, і
– сторона, довжину якої треба знайти. Запишемо для цих сторін та кутів теорему синусів:
Виразимо далі з останньої рівності невідому сторону і підставимо в отриманий вираз задані значення сторін і кутів:
Звідси, .
Приклад 2: у трикутнику сторони
,
і
. Знайти два інших кута заданого трикутника.
Отде, за теоремою синусів маємо:
Підставивши далі в отриману рівність задані значення сторін та
і кута
, знайдемо градусну міру кута
:
Далі, виходячи з того, що сума кутів трикутника дорівнює , отримаємо
.
Приклад 3: знайти радіус кола, описаного навколо рівнобедренного трикутника
з основою
і бічною стороною
.
Рівнобедренний трикутник ABC
Отде, за теоремою синусів маємо:
Виразивши з даної рівності радіус описаного кола матимемо:
Знайдемо . Для цього, в трикутнику
проведемо висоту
, яка, в даному випадку, буде і медіаною трикутника. Тоді,
.
Далі, з трикутника , по теоремі Піфагора, обчислимо висоту
:
. Звідси,
.
Підставивши далі отримане значення у формулу знайдемо радіус
: