Теорема синусів, формула і приклади

Як відомо, у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона. Нехай  – сторони,  – протилежні їм кути трикутника  відповідно. Якщо сторона  – велика, – середня,  – менша, то кут  – більший,  – середній,  – менший. Встановимо точний зв’язок між довжиною сторони трикутника і величиною протилежного їй кута.

Трикутник ABC

Отже, згідно з теоремою синусів, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу кола, описаного навколо трикутника, тобто:

Доведемо дане твердження. Для цього, розглянемо деякий трикутник , для якого ,   – протилежна йому сторона і  – радіус описаного навколо трикутника кола. Зазначимо, що кут може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо кожен з цих випадки окремо.

1. Кут гострий: провівши діаметр  і відрізок , отримаємо прямокутний трикутник , в якому  як вписаний кут, що спирається на діаметр. Зауважимо, що  як вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу . З прямокутного трикутника знаходимо  (де  – градусна міра кута ), тобто . Звідси, .

   

   Трикутник ABC (кут α – гострий)

2. Кут тупий: проведемо діаметр і відрізок . У чотирикутнику  по властивості вписаного чотирикутника . З прямокутного трикутника  ( як вписаний кут, що спирається на діаметр)  (де  – градусна міра кута ). Оскільки , то , звідки .

   

   Трикутник ABC (кут α – тупий)

3. Кут прямий: якщо трикутник прямокутний (), то його гіпотенуза  є також і діаметром описаного кола. В такому випадку, за теоремою синусів матимемо: .

   

   Трикутник ABC (кут α – прямий)

Повторивши ті ж міркування для двох інших сторін трикутника, а саме  і , отримуємо , що і треба було довести.

Зазначимо, що теорема синусів дає можливість вирішувати широке коло задач. До прикладу, пропорція  дозволяє вирішити наступні дві задачі:

• знаючи дві сторони трикутника і кут, протилежний одній з них, знайти синус кута, протилежного іншій стороні;
• знаючи два кути трикутника і сторону, протилежну одному з цих кутів, знайти сторону, протилежну іншому куту.

За допомогою формули  можна вирішити ще три задачі:

• знаючи сторону трикутника і протилежний їй кут, знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника;
• знаючи кут трикутника і радіус описаного кола, знайти сторону трикутника, протилежну даному куту;
• знаючи сторону трикутника і радіус його описаного кола, знайти синус кута, протилежного цій стороні.

Теорема синусів – розв’язування задач:

Приклад 1: сторона  трикутника  дорівнює , градусна міра кутів  та  дорівнює  і  відповідно. Знайти сторону трикутника, що лежить проти кута в .

Отже, за умовою,  і  – сторона, довжину якої треба знайти. Запишемо для цих сторін та кутів теорему синусів:

Виразимо далі з останньої рівності невідому сторону  і підставимо в отриманий вираз задані значення сторін і кутів:

Звідси, .

Приклад 2: у трикутнику  сторони ,  і . Знайти два інших кута заданого трикутника.

Отде, за теоремою синусів маємо:

Підставивши далі в отриману рівність задані значення сторін  та  і кута , знайдемо градусну міру кута :

Далі, виходячи з того, що сума кутів трикутника дорівнює , отримаємо .

Приклад 3: знайти радіус кола, описаного навколо рівнобедренного трикутника з основою  і бічною стороною .

Рівнобедренний трикутник ABC

Отде, за теоремою синусів маємо:

Виразивши з даної рівності радіус описаного кола  матимемо:

Знайдемо . Для цього, в трикутнику проведемо висоту , яка, в даному випадку, буде і медіаною трикутника. Тоді, .

Далі, з трикутника , по теоремі Піфагора, обчислимо висоту : . Звідси, .

Підставивши далі отримане значення у формулу  знайдемо радіус :