Як відомо, у трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута – більша сторона. Нехай BC, AC, AB – сторони, α, β, γ – протилежні їм кути трикутника ABC відповідно. Якщо сторона BC – велика, AC – середня, AB – менша, то кут α – більший, β – середній, γ – менший. Встановимо точний зв’язок між довжиною сторони трикутника і величиною протилежного їй кута.

Теорема синусів

Трикутник ABC

Отже, згідно з теоремою синусів, сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює подвоєному радіусу кола, описаного навколо трикутника, тобто:

Теорема синусів формула

Доведемо дане твердження. Для цього, розглянемо деякий трикутник ABC, для якого ∠ A = αBC – протилежна йому сторона і R – радіус описаного навколо трикутника кола. Зазначимо, що кут α може бути гострим, тупим або прямим. Розглянемо кожен з цих випадки окремо.

  1. Кут α гострий: провівши діаметр BD і відрізок DC, отримаємо прямокутний трикутник DBC, в якому ∠BCD = 90 ° як вписаний кут, що спирається на діаметр. Зауважимо, що ∠D = ∠ A = α як вписані кути, що спираються на одну й ту ж дугу BC. З прямокутного трикутника DBC знаходимо sin(α) = BC / BD (де α – градусна міра кута D), тобто sin(α) = BC / (2 * R). Звідси, BC / sin(α) = 2 * R.

    Теорема синусів

    Трикутник ABC (кут α – гострий)

  2. Кут α тупий: проведемо діаметр BD і відрізок DC. У чотирикутнику ABDC по властивості вписаного чотирикутника ∠D = 180 ° - α. З прямокутного трикутника CBD (∠BCD = 90 ° як вписаний кут, що спирається на діаметр) sin (180 ° - α) = BC / BD = BC / (2 * R) (де (180 ° - α) – градусна міра кута D). Оскільки sin (180 ° - α) = sin (α), то sin (α) = BC / (2 * R), звідки BC / sin (α) = 2 * R.

    Теорема синусів

    Трикутник ABC (кут α – тупий)

  3. Кут α прямий: якщо трикутник ABC прямокутний (), то його гіпотенуза BC є також і діаметром описаного кола. В такому випадку, за теоремою синусів матимемо: BC / sin(α) = BC / sin(90 °) = BC / 1 = BC = 2 * R.

    Теорема синусів

    Трикутник ABC (кут α – прямий)

Повторивши ті ж міркування для двох інших сторін трикутника, а саме AB і AC, отримуємо Теорема синусів формула, що і треба було довести.

Зазначимо, що теорема синусів дає можливість вирішувати широке коло задач. До прикладу, пропорція BC / sin (α) = AC / sin (β) дозволяє вирішити наступні дві задачі:

  • знаючи дві сторони трикутника і кут, протилежний одній з них, знайти синус кута, протилежного іншій стороні;
  • знаючи два кути трикутника і сторону, протилежну одному з цих кутів, знайти сторону, протилежну іншому куту.

За допомогою формули BC / sin(α) = 2 * R можна вирішити ще три задачі:

  • знаючи сторону трикутника і протилежний їй кут, знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника;
  • знаючи кут трикутника і радіус описаного кола, знайти сторону трикутника, протилежну даному куту;
  • знаючи сторону трикутника і радіус його описаного кола, знайти синус кута, протилежного цій стороні.
Теорема синусів – розв’язування задач:

Приклад 1: сторона BC трикутника ABC дорівнює 3 см., градусна міра кутів A та C дорівнює α = 60 ° і γ = 45 ° відповідно. Знайти сторону трикутника, що лежить проти кута в 45 °.

Отже, за умовою, BC = 3 см. і AB – сторона, довжину якої треба знайти. Запишемо для цих сторін та кутів теорему синусів:

Теорема синусів формула

Виразимо далі з останньої рівності невідому сторону AB і підставимо в отриманий вираз задані значення сторін і кутів:

Звідси, AB = 2.44949 см..

Приклад 2: у трикутнику ABC сторони AC = 9 см., BC = 8 см. і . Знайти два інших кута заданого трикутника.

Отде, за теоремою синусів маємо:

Теорема синусів формула

Підставивши далі в отриману рівність задані значення сторін AC та BC і кута A, знайдемо градусну міру кута B:

Далі, виходячи з того, що сума кутів трикутника дорівнює 180 °, отримаємо γ = 180 ° - α - β = 180 ° - 60 ° - 77 ° = 43 °.

Приклад 3: знайти радіус R кола, описаного навколо рівнобедренного трикутника ABC з основою AC = 16 см. і бічною стороною AB = BC = 10 см..

Теорема синусів приклад

Рівнобедренний трикутник ABC

Отде, за теоремою синусів маємо:

Теорема синусів формула

Виразивши з даної рівності радіус описаного кола R матимемо:

R = BC / (2 * sin(α))

Знайдемо sin(α). Для цього, в трикутнику ABC проведемо висоту BD, яка, в даному випадку, буде і медіаною трикутника. Тоді, AD = AC / 2 = 16 / 2 = 8 см..

Далі, з трикутника ABD, по теоремі Піфагора, обчислимо висоту BDBD = 6 см.. Звідси, sin(α) = 0.6.

Підставивши далі отримане значення у формулу R = BC / (2 * sin(α)) знайдемо радіус R:

R = 8.33333 см.

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*