Перша інтерполяційна формула Ньютона для рівновіддалених вузлів інтерполяції

Нехай для функції задані значення для рівновіддалених вузлів, тобто , де h – крок інтерполяції. Потрібно знайти поліном , степінь якого не перевищує n, і який в точках набуває значень .

Даний поліном будемо шукати у наступному вигляді:

Використовуючи узагальнену степінь числа, вираз (2) запишемо у наступному вигляді:

Задача полягає у знаходженні коефіцієнтів . У виразі (2‘) покладемо . В результаті отримаємо .

Для того, щоб знайти коефіцієнт запишемо скінченну різницю першого порядку (скінченною різницею першого порядку називають різницю між значеннями функції у сусідніх вузлах інтерполяції, тобто, ):

Покладаючи в останньому виразі , отримаємо . Звідси .

Для знаходження коефіцієнта запишемо скінченну різницю другого порядку. Для знаходження яких використовуються скінченні різниці першого порядку ().

Знову, покладаючи в останній вираз , отримаємо . Звідки отримуємо .

Продовжуючи даний процес, отримаємо загальну формулу для обчислення коефіцієнтів: , де скінченні різниці i-го порядку визначаються наступним чином:

Підставляючи знайдені коефіцієнти в формулу (2‘), отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона:

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (3), зазвичай записують у дещо іншому вигляді. Для того вводять нову змінну. Підставляючи дану змінну в (3), перша інтерполяційна формула Ньютона набуде наступного вигляду:

де q представляє собою число кроків необхідних для досягнення точки x, виходячи з точки . Таким чином, ми отримали кінцевий варіант першої інтерполяційної формули Ньютона.

Перша інтерполяційна формула Ньютона – приклад:

Нехай функція  задана таблично:

Необхідно, скориставшись першою інтерполяційною формулою Ньютона, обчислити значення функції в точці , яка являється відмінною від заданих. Для цього, на першому кроці обчислимо скінченні різниці до шостого порядку включно:

1. 1. Скінченні різниці першого порядку:

1. 1. Скінченні різниці другого порядку:

1. 1. Скінченні різниці третього порядку:

1. 1. Скінченні різниці четвертого порядку:

1. 1. Скінченні різниці п’ятого порядку:

1. Скінченні різниці шостого порядку: .

Підставляючи отримані значення, значення з таблиці і точку , в формулу (4) отримуємо наближене значення функції в заданій точці:

Блок-схема програмної реалізації першої інтерполяційної формули Ньютона: