Скалярний добуток векторів

Під скалярним добутком двох векторів OA = a і OB = b розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Скалярний добуток векторів формула

де φ – менший кут між векторами a і b (0 <= φ <= π).

Скалярний добуток векторів, як знайти скалярний добуток векторів

Разом із символом Скалярний добуток векторів в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме Скалярний добуток векторів або Скалярний добуток векторів.

Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:

Проекція вектора на вісь формули

Зазначимо, що тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:

Скалярний добуток векторів формула

Таким чином, скалярний добуток векторів дорівнює довжині одного з них, помноженій на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.

Скалярним квадратом вектора a називається скалярний добуток цього вектора на себе:

Скалярний добуток вектора на себе

Тобто, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

Зауваження: вектори a і b ортогональні (перпендикулярні) тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю.

Скалярний добуток векторів задовільняє наступним властивостям:

  • скалярний добуток векторів комутативний, тобто (a, b) = (b, a) для будь-яких векторів a та b;
  • спільно з множенням вектора на число операція скалярного добутку асоціативна, тобто ((α * a), b) = α * (a, b), для будь-якого дійсного числа α і будь-яких векторів a та b;
  • скалярний добуток і операція додавання векторів пов’язані властивістю дистрибутивності, тобто (a, (b + c)) = (a, b) + (a, c) для будь-яких векторів a, b і c.

Покажемо далі, як знайти скалярний добуток векторів через їх координати.

Отже, якщо вектори a та b задані своїми координатами (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2), то їх скалярний добуток обчислюється як сума добутків однойменних координат:

Скалярний добуток векторів за координатами

Для доведення даного твердження запишемо кожен вектор у вигляді розкладання за базисними векторами:

Розкладання векторів за базисом

Зазначимо, що в такому випадку, скалярний добуток венкторів a та b, перепишеться в наступному вигляді:

Далі, скориставшись властивостями дистрибутивності та асоціативна скалярного добутку, матимемо:

Скалярний добуток векторів через координати доведення

Оскільки вектори i, j, і k взаємно перпендикулярні, то (i, j) = 0, (j, k) = 0 і (i, k) = 0, а так як |i| = |j| = |k| = 1, то (i, i) = 1, (j, j) = 1, (k, k) = 1. Отже, отримуємо Скалярний добуток векторів формула, що треба було довести.

Приклад 1: довжини векторів a і b дорівнюють 4 та 7 одиниць відповідно. Знайдіть скалярний добуток векторів, якщо кут φ дорівнює 60 градусів.

Отже, за умовою маємо всі дані, тому, скориставшись формулою (1), матимемо:

Скалярний добуток векторів дорівнює 14

Приклад 2: на координатній площині задані точки A(2, 4), B(4, 9), C(10, 6). Знайти скалярний добуток векторів AB та AC.

Скалярний добуток векторів, як знайти скалярний добуток векторів

Виходячи з того, що, за умовою, дано координати точок, то для початку обчислюємо координати відповідних векторів:

AB = (2, 5); AC = (8, 2)

Підставляючи далі у формулу (5) знайдені координати, отримаємо скалярний добуток векторів AB та AC:

Скалярний добуток векторів дорівнює 26

Приклад 3: обчисліть скалярний добуток векторів a = (-1, 2, 3) і b = (2, 0, -1).

Отже, як зазначалося вище, скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутку їх відповідних координат, тобто

Скалярний добуток векторів дорівнює -5

Приклад 4: знайти скалярний добуток векторів a і b та кут φ між ними, якщо a = (-3, 4) і b = (0, 2).

Виходячи з того, що вектори задано в координатній формі, то для обчислення їх скалярного добутку скористаємось формулою (5). В результаті отримаємо:

Скалярний добуток векторів дорівнює 8

Далі, переходимо до визначення кута φ. Отже, переглянувши (1) бачимо, що косинус кута між векторами визначається за формулою cos(φ) = (a, b) / (|a| * |b|), де (a, b) = 8, |a| = 5 і |b| = 2, тобто cos(φ) = 4 / 5. Таким чином, φ = 37.

Приклад 5: знайти всі значення x, при яких вектори a = (x, -1) і b = (6, 2) будуть ортогональні.

Як відомо, два вектори ортогональними тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток векторів дорівнює нулю. Обчислюємо скалярний добуток заданих векторів:

x = 3

Блок-схема алгоритму знаходження скалярного добутку двох векторів

Скалярний добуток векторів блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*