Навігація по сторінці.
Скалярний добуток двох векторів.
Під скалярним добутком двох векторів і
розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
де – менший кут між векторами
і
(
).
Разом із символом в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме
або
.
Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:
Зазначимо, що тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:
Таким чином, скалярний добуток векторів дорівнює довжині одного з них, помноженій на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.
Скалярним квадратом вектора називається скалярний добуток цього вектора на себе:
Тобто, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.
Зауваження: вектори і
ортогональні (перпендикулярні) тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю.
Властивості скалярного добутку векторів.
Скалярний добуток векторів задовільняє наступним властивостям:
- скалярний добуток векторів комутативний, тобто
для будь-яких векторів
та
;
- спільно з множенням вектора на число операція скалярного добутку асоціативна, тобто
, для будь-якого дійсного числа
і будь-яких векторів
та
;
- скалярний добуток і операція додавання векторів пов’язані властивістю дистрибутивності, тобто
для будь-яких векторів
,
і
.
Скалярний добуток векторів через координати.
Покажемо далі, як знайти скалярний добуток векторів через їх координати.
Отже, якщо вектори та
задані своїми координатами
і
, то їх скалярний добуток обчислюється як сума добутків однойменних координат:
Для доведення даного твердження запишемо кожен вектор у вигляді розкладання за базисними векторами:
Зазначимо, що в такому випадку, скалярний добуток венкторів та
, перепишеться в наступному вигляді:
Далі, скориставшись властивостями дистрибутивності та асоціативна скалярного добутку, матимемо:
Оскільки вектори ,
, і
взаємно перпендикулярні, то
,
і
, а так як
, то
,
,
. Отже, отримуємо
, що треба було довести.
Скалярний добуток векторів – розв’язування прикладів.
Приклад 1: довжини векторів і
дорівнюють 4 та 7 одиниць відповідно. Знайдіть скалярний добуток векторів, якщо кут
дорівнює 60 градусів.
Отже, за умовою маємо всі дані, тому, скориставшись формулою (1), матимемо:
Приклад 2: на координатній площині задані точки . Знайти скалярний добуток векторів
та
.
Виходячи з того, що, за умовою, дано координати точок, то для початку обчислюємо координати відповідних векторів:
Підставляючи далі у формулу (5) знайдені координати, отримаємо скалярний добуток векторів та
:
Приклад 3: обчисліть скалярний добуток векторів і
.
Отже, як зазначалося вище, скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутку їх відповідних координат, тобто
Приклад 4: знайти скалярний добуток векторів і
та кут
між ними, якщо
і
.
Виходячи з того, що вектори задано в координатній формі, то для обчислення їх скалярного добутку скористаємось формулою (5). В результаті отримаємо:
Далі, переходимо до визначення кута . Отже, переглянувши (1) бачимо, що косинус кута між векторами визначається за формулою
, де
,
і
, тобто
. Таким чином,
.
Приклад 5: знайти всі значення , при яких вектори
і
будуть ортогональні.
Як відомо, два вектори ортогональними тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток векторів дорівнює нулю. Обчислюємо скалярний добуток заданих векторів: