Скалярний добуток векторів

Скалярний добуток двох векторів.

Під скалярним добутком двох векторів  і  розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

де  – менший кут між векторами  і  ().

Разом із символом  в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме  або .

Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:

Зазначимо, що тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:

Таким чином, скалярний добуток векторів дорівнює довжині одного з них, помноженій на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.

Скалярним квадратом вектора  називається скалярний добуток цього вектора на себе:

Тобто, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

Зауваження: вектори  і  ортогональні (перпендикулярні) тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток цих векторів дорівнює нулю.

Властивості скалярного добутку векторів.

Скалярний добуток векторів задовільняє наступним властивостям:

• скалярний добуток векторів комутативний, тобто  для будь-яких векторів  та ;
• спільно з множенням вектора на число операція скалярного добутку асоціативна, тобто , для будь-якого дійсного числа  і будь-яких векторів  та ;
• скалярний добуток і операція додавання векторів пов’язані властивістю дистрибутивності, тобто  для будь-яких векторів ,  і .

Скалярний добуток векторів через координати.

Покажемо далі, як знайти скалярний добуток векторів через їх координати.

Отже, якщо вектори  та  задані своїми координатами  і , то їх скалярний добуток обчислюється як сума добутків однойменних координат:

Для доведення даного твердження запишемо кожен вектор у вигляді розкладання за базисними векторами:

Зазначимо, що в такому випадку, скалярний добуток венкторів  та , перепишеться в наступному вигляді:

Далі, скориставшись властивостями дистрибутивності та асоціативна скалярного добутку, матимемо:

Оскільки вектори , , і  взаємно перпендикулярні, то ,  і , а так як , то , , . Отже, отримуємо , що треба було довести.

Скалярний добуток векторів – розв’язування прикладів.

Приклад 1: довжини векторів  і  дорівнюють 4 та 7 одиниць відповідно. Знайдіть скалярний добуток векторів, якщо кут  дорівнює 60 градусів.

Отже, за умовою маємо всі дані, тому, скориставшись формулою (1), матимемо:

Приклад 2: на координатній площині задані точки . Знайти скалярний добуток векторів  та .

Виходячи з того, що, за умовою, дано координати точок, то для початку обчислюємо координати відповідних векторів:

Підставляючи далі у формулу (5) знайдені координати, отримаємо скалярний добуток векторів  та :

Приклад 3: обчисліть скалярний добуток векторів  і .

Отже, як зазначалося вище, скалярний добуток векторів дорівнює сумі добутку їх відповідних координат, тобто

Приклад 4: знайти скалярний добуток векторів  і  та кут  між ними, якщо  і .

Виходячи з того, що вектори задано в координатній формі, то для обчислення їх скалярного добутку скористаємось формулою (5). В результаті отримаємо:

Далі, переходимо до визначення кута . Отже, переглянувши (1) бачимо, що косинус кута між векторами визначається за формулою , де ,  і , тобто . Таким чином, .

Приклад 5: знайти всі значення , при яких вектори  і  будуть ортогональні.

Як відомо, два вектори ортогональними тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток векторів дорівнює нулю. Обчислюємо скалярний добуток заданих векторів:

Блок-схема алгоритму знаходження скалярного добутку двох векторів