Скалярний добуток векторів

Під скалярним добутком двох векторів і розуміють число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

де – менший кут між векторами та  (). Разом із символом  в літературі часто використовуються й інші позначення, а саме або .

Оскільки проекція вектора на вісь дорівнює його модулю, помноженому на косинус кута нахилу вектора до цієї осі, то маємо:

Тоді, формулу (1) можна переписати у наступному вигляді:

Таким чином, скалярний добуток двох векторів дорівнює довжині одного з них, помноженої на проекцію другого вектора на вісь, напрямок якої визначається першим вектором.

Якщо вектори  та  задані своїми координатами і , то їх скалярний добуток обчислюється як сума добутків однойменних координат:

Скалярним квадратом вектора називається скалярний добуток цього вектора на себе:

Тобто, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини.

Зауваження: вектори  і  перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Розглянемо далі основні властивості скалярного добутку:

1. Скалярний добуток векторів комутативний, тобто  для будь-яких векторів  та .
2. Спільно з множенням вектора на число операція скалярного добутку асоціативна, тобто , для будь-якого дійсного числа і будь-яких векторів  та .
3. Скалярне добуток і операція додавання векторів пов’язані властивістю дистрибутивності, тобто для будь-яких векторів ,  і .

Скалярний добуток векторів – приклад:

Знайти скалярний добуток векторів і  та кут  між ними, якщо і .

Виходячи з того, що вектори  і  задано в координатній формі, то для обчислення їх скалярного добутку скористаємось формулою (4). В результаті отримаємо:

Далі, переходимо до визначення кута . Отже, переглянувши (1) бачимо, що косинус кута між векторами обчислюється за формулою , де , і , тобто . Таким чином, .

Блок-схема алгоритму знаходження скалярного добутку двох векторів