Нехай задано вектор і вісь
. З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки
та
) і утворимо вектор
.
Проекцією вектора на вісь
називають довжину вектора
, взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора
та осі
співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.
Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь
Проекцію вектора будемо позначати через або
, де
– будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.
Проекція вектора на вісь задовольняє наступним властивостям:
- Рівні вектори мають рівні проекції на одну і ту саму вісь.
-
Проекція суми векторів
на довільну вісь
дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь:
.
Проекція суми векторів на вісь
-
Проекція вектора
на вісь
дорівнює добутку довжини вектора
на косинус кута між цим вектором і віссю
:
Зауваження: кут
відраховується від осі до вектора проти ходу годинникової стрілки.
- Проекція вектора
на вісь
дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор перпендикулярний до осі.
- При множенні вектора на число його проекція множиться на те саме число:
.
Проекція вектора на вісь – приклад:
Дано . Знайти проекцію вектора
на координатну вісь
, якщо вектори
складають з цією віссю кути
відповідно.
Отже, згідно з розглянутими вище властивостями проекцій (властивість 2 та 5) отримаємо:
Далі, застосувавши для кожного з доданків останнього виразу формулу (1), знайдемо шукану проекцію: