Проекція вектора на вісь

Нехай задано вектор і вісь . З кінців вектора опустимо перпендикуляри на вісь (точки та ) і утворимо вектор .

Проекцією вектора на вісь  називають довжину вектора , взяту зі знаком «плюс», якщо напрямки вектора  та осі  співпадають, і зі знаком «мінус», якщо вказані напрямки протилежні.

Ілюстрація до визначення проекції вектора на вісь

Проекцію вектора будемо позначати через  або , де – будь-який ненульовий вектор, що задає напрямок проектування.

Проекція вектора на вісь задовольняє наступним властивостям:

1. Рівні вектори мають рівні проекції на одну і ту саму вісь.

2. Проекція суми векторів на довільну вісь  дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь: .

   

   Проекція суми векторів на вісь

3. Проекція вектора на вісь  дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між цим вектором і віссю :

   

   Зауваження: кут відраховується від осі до вектора проти ходу годинникової стрілки.

4. Проекція вектора на вісь  дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектор перпендикулярний до осі.
5. При множенні вектора на число його проекція множиться на те саме число: .

Проекція вектора на вісь – приклад:

Дано . Знайти проекцію вектора на координатну вісь , якщо вектори складають з цією віссю кути відповідно.

Отже, згідно з розглянутими вище властивостями проекцій (властивість 2 та 5) отримаємо:

Далі, застосувавши для кожного з доданків останнього виразу формулу (1), знайдемо шукану проекцію:

Блок-схема алгоритму знаходження проекції вектора на вісь