Означення вектора. Напрям і модуль вектора

Вектор – це величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. В даній публікації ми дізнаємось про вектори, про те, які з них називаються рівними, а які колінеарними. Також розглянемо як знайти координати вектора та його модуль.

Вектори: основні поняття та визначення.

У повсякденній практиці ми маємо справу з величинами двох видів. Одні з цих величин такі, як температура, час, маса, довжина, площа можна визначити одним числовим значенням, інші ж величини, такі, як сила, швидкість, прискорення можна визначити тільки тоді, коли відомо не тільки їх числове значення, а й напрям у просторі.

Величини першого виду називають скалярними величинами або скалярами. Величини другого виду називають векторними величинами.

Кожну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком – вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини.

Вектор визначають двома точками: перша – це початок, друга – його кінець. При цьому, додатним напрямом вектора вважається напрямок від його початкової до кінцевої точки, наприклад, вектор  має початок у точці  і кінець у точці  (стрілка вказує напрям вектора).

Якщо початок і кінець вектора співпадають, то вектор називають нульовим (нуль-вектор). Зазначимо що якщо точка, відповідна нульовому вектору, позначена буквою , то сам вектор позначають .

Координати вектора та його модуль.

Координати вектора , що має початок в точці  і кінець у точці , дорівнюють різниці відповідних координат точок  і : .

Довжина, або модуль вектора  (використовують позначення ) – це відстань між його початком і кінцем (обчислюється як довжина відрізка AB):

Якщо вектор  заданий своїми координатами  та , то його модуль дорівнює кореню квадратному із суми квадратів координат цього вектора:

Зауваження: вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називають одиничним вектором або ортом.

Рівність і колінеарність векторів.

Два ненульових вектори  і  називають колінеарними, якщо прямі  і  паралельні або співпадають (). Всі пари колінеарних векторів можна розділити на дві групи:

• однонапрямлені колінеарні вектори – вектори напрямки яких співпадають ();
• протилежно напрямлені колінеарні вектори – вектори, які мають протилежний напрям ().

За визначенням вважається, що нульовий вектор колінеарний будь-якому іншому вектору.

Три або більше ненульових вектора називаються компланарними, якщо вони лежать на одній площині або на паралельних площинах.

Вектори рівні, якщо вони колінеарні, мають однакові напрями і рівні модулі ().

Основні поняття та визначення вектора – приклади з відповідями.

Приклад 1: нехай задано чотирикутник . Визначити, які з векторів , , ,  рівні між собою.

Виходячи з того, що  паралелограм (дві протилежні сторони паралельні та рівні), то, на рисунку вище, вектори  і  рівні ().

Вектори  і не рівні. Хоч ці вектори і колінеарні, і мають рівні модулі, але вони є протилежно напрямленими.

Приклад 2: знайти координати та довжину вектора , заданого точками  і .

На першому кроці, знайдемо координати вектора . Для цього, як уже зазначалося вище, від координат кінця віднімемо відповідні координати його початку. В результаті отримаємо:

Далі, скориставшись формулою (2), знайдемо шуканий модуль:

Приклад 3: нехай дано точки ,  і . Які координати повинна мати точка , щоб вектори і були рівними.

Отже, для початку знайдемо координати вектора :

Таким чином, . Якщо вектори рівні,то їхвідповідні координати також рівні, тому . Знаючи координати вектора , знайдемо координати його кінця:

Отже,  – шукана точка.

Приклад 4: при якому значенні  вектори  і  колінеарні?

Вектори і будуть колінеарними, якщо відношення їх координат рівні, тобто . Звідси:

Отже, вектори будуть колінеарними, якщо  або .

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про вектори? Перегляньте ці сторінки:

1. Додавання і віднімання векторів.
2. Скалярний добуток векторів.
3. Мішаний добуток трьох векторів.
4. Векторний добуток двох векторів.
5. Проекція вектора на вісь.
6. Множення вектора на число.

Блок-схема алгоритму перевірки рівності двох векторів