Векторний добуток двох векторів

Векторним добутком двох векторів і називається третій вектор , який задовольняє наступним умовам:

1. Вектор  перпендикулярний кожному з векторів  і .
2. Довжина вектора  дорівнює площі паралелограмма, побудованого на векторах та , тобто , де – кут між даними векторами.
3. Вектори ,  і  утворюють праву трійку.

Для векторного добутку, так само як і для скалярного добутку, використовуються різні позначення, а саме  та . Ми ж будемо дотримуватися першого з них, тобто .

Ілюстрація до визначення векторного добутку

Зауваження: некомпланарні вектори , взяті у вказаному порядку, утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора найкоротший поворот від  до  спостерігається проти ходу годинникової стрілки, і ліву трійку, якщо за годинниковою.

Права і ліва трійка векторів

Якщо вектори  та  задані своїми координатами і , то їх векторний добуток можна обчислити наступним чином:

де .

Зауваження: якщо з координат векторів  і  скласти матрицю вигляду:

то координати векторного добутку  рівні мінорам другого порядку цієї матриці, отриманих шляхом почергового викреслювання першого, другого і третього стовпців, причому другий мінор потрібно взяти зі знаком мінус.

Векторний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні. Векторний квадрат завжди дорівнює нулю: .

Розглянемо далі властивості векторного добутку:

1. Векторний добуток антикомутативний, тобто від перестановки множників змінює знак: .
2. Векторний добуток асоціативний відносно множення на скаляр: .
3. Векторний добуток і операція додавання векторів пов’язані властивістю дистрибутивності: .

Векторний добуток векторів – приклад:

Дано два вектори і . Знайти векторний добуток .

Як відомо, при множенні вектора на число його координати множаться на це число, а при додаванні векторів їх відповідні координати додаються. Отже, будемо мати:

Далі, скориставшись формулою (1), знайдемо векторний добуток отриманих векторів:

Блок-схема алгоритму знаходження векторного добутку