Додавання і віднімання векторів

Нехай AB = a і CD = b – два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор a до довільної точки O, а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор b.

Сумою цих векторів Сума векторів буде вектор c, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець – із кінцем вектора b (правило трикутника).

Додавання векторів правило трикутника

Для знаходження суми векторів Сума векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори a та b приводять до спільного початку (точка O) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини O, є сумою векторів Сума векторів.

Додавання векторів правило паралелограма

Зауваження: для обчислення суми n векторів Додавання векторів використовують правило замикання ламаної (узагальнення правила трикутників). У цьому разі до кінця вектора a1 треба приєднати вектор a2, до кінця a2 – вектор a3 і так далі. Тоді сумою векторів Додавання векторів буде вектор, початок якого співпадає з початком першого вектора a1, а кінець – із кінцем останнього вектора an.

Операція додавання векторів задовільняє наступні алгебраїчні властивості:

  • сума векторів коммутативна, тобто Властивості додавання векторів для будь-яких a і b;
  • сума векторів асоціатівна, тобто Властивості додавання векторів для будь-яких векторів a, b і c;
  • нульовий вектор є нейтральним щодо операції додавання, тобто Властивості додавання векторів для будь-якого вектора a;
  • сумою протилежних векторів є нуль-вектор, тобто Властивості додавання векторів.

Різницею a - b векторів a і b є вектор c, який в сумі з вектором b дає вектор a.

Звідси безпосередньо випливає правило віднімання векторів: щоб від вектора a відняти вектор b, необхідно привести їх до спільного початку (точка O), після чого, з’єднати їх кінці за допомогою вектора c, спрямованого у кінець зменшуваного вектора a. В результаті отримаємо Різниця векторів формула.

Віднімання векторів правило трикутника

Зазначимо, що користуючись поняттям протилежних векторів, можна сформулювати інше правило віднімання: щоб отримати різницю векторів a - b, потрібно до вектора a додати вектор, зворотний вектору b, тобто Різниця векторів формула.

За допомогою правила паралелограма можна знаходити як суму, так і різницю векторів a та b.

Віднімання векторів правило паралелограма

Приклад 1: вектори AB = a і CD = b взаємно перпендикулярні, причому |a| = 8 і |b| = 15. Знайти Сума векторів і Різниця векторів.

Оскільки задані вектори взаємно перпендикулярні, то паралелограм, побудований на цих векторах, вироджується в прямокутник.

На основі властивості діагоналей прямокутника, а саме сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін, отримаємо:

Сума векторів формула

Розв’язавши останнє рівняння відносно , будемо мати:

Сума векторів формула

Звідси, |a + b| = |a - b| = 17 (як діагоналі прямокутника).

Блок-схема алгоритму додавання та віднімання векторів

Додавання та віднімання векторів блок-схема

Ми в соціальних мережах

Залишити коментар

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*