3Навігація по сторінці.
Правила додавання векторів.
Нехай і
– два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор
до довільної точки
, а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор
.
Сумою цих векторів буде вектор
, початок якого збігається з початком вектора
, а кінець – із кінцем вектора
(правило трикутника).
Для знаходження суми векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори
та
приводять до спільного початку (точка
) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини
, є сумою векторів
.
Зауваження: для обчислення суми векторів
використовують правило замикання ламаної (узагальнення правила трикутників). У цьому разі до кінця вектора
треба приєднати вектор
, до кінця
– вектор
і так далі. Тоді сумою векторів
буде вектор, початок якого співпадає з початком першого вектора
, а кінець – із кінцем останнього вектора
.
Властивості додавання векторів.
Операція додавання векторів задовільняє наступні алгебраїчні властивості:
- сума векторів коммутативна, тобто
для будь-яких
і
;
- сума векторів асоціатівна, тобто
для будь-яких векторів
,
і
;
- нульовий вектор є нейтральним щодо операції додавання, тобто
для будь-якого вектора
;
- сумою протилежних векторів є нуль-вектор, тобто
.
Віднімання векторів.
Різницею векторів
і
є вектор
, який в сумі з вектором
дає вектор
.
Звідси безпосередньо випливає правило віднімання векторів: щоб від вектора відняти вектор
, необхідно привести їх до спільного початку (точка
), після чого, з’єднати їх кінці за допомогою вектора
, спрямованого у кінець зменшуваного вектора
. В результаті отримаємо
.
Зазначимо, що користуючись поняттям протилежних векторів, можна сформулювати інше правило віднімання: щоб отримати різницю векторів , потрібно до вектора
додати вектор, зворотний вектору
, тобто
.
За допомогою правила паралелограма можна знаходити як суму, так і різницю векторів та
.
Додавання і віднімання векторів – розв’язування прикладів.
Приклад 1: вектори і
взаємно перпендикулярні, причому
і
. Знайти
і
.
Оскільки задані вектори взаємно перпендикулярні, то паралелограм, побудований на цих векторах, вироджується в прямокутник.
На основі властивості діагоналей прямокутника, а саме сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін, отримаємо:
Розв’язавши останнє рівняння відносно , будемо мати:
Звідси, (як діагоналі прямокутника).