Додавання і віднімання векторів

Нехай  і – два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор до довільної точки , а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор . Сумою цих векторів буде вектор , початок якого збігається з початком вектора  , а кінець – із кінцем  (правило трикутника).

Додавання векторів – правило трикутника

Для знаходження суми векторів можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори  та  приводять до спільного початку (точка ) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини , є сумою векторів .

Додавання векторів – правило паралелограма

Зауваження: для обчислення суми векторів використовують правило замикання ламаної (узагальнення правила трикутників). У цьому разі до кінця вектора треба приєднати вектор , до кінця  – вектор і так далі. Тоді сумою векторів  буде вектор, початок якого співпадає з початком першого вектора , а кінець – із кінцем останнього .

Операція додавання векторів задовольняє наступним властивостям:

1. Сума векторів коммутативна, тобто для будь-яких  і .
2. Сума векторів асоціатівна, тобто для будь-яких векторів ,  і .
3. Нульовий вектор є нейтральним щодо операції додавання, тобто для будь-якого вектора .
4. Сума протилежних векторів є нуль-вектор, тобто .

Різницею векторів  і  є вектор , який в сумі з вектором  дає вектор . Звідси безпосередньо випливає правило віднімання: щоб від вектора  відняти вектор , необхідно привести їх до спільного початку (точка ), після чого, з’єднати їх кінці за допомогою вектора , спрямованого у кінець зменшуваного вектора . В результаті отримаємо .

Віднімання векторів – правило трикутника

Зазначимо, що користуючись поняттям протилежних векторів, можна сформулювати інше правило віднімання: щоб отримати різницю векторів , потрібно до вектора  додати вектор, зворотний вектору , тобто  .

За допомогою правила паралелограма можна знаходити як суму, так і різницю векторів та .

Віднімання векторів – правило паралелограма

Додавання та віднімання векторів – приклад:

Вектори  і  взаємно перпендикулярні, причому і . Знайти і .

Оскільки задані вектори взаємно перпендикулярні, то паралелограм, побудований на цих векторах, вироджується в прямокутник. На основі властивості діагоналей прямокутника, а саме сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін, отримаємо .

Розв’язавши останнє рівняння відносно , будемо мати: . Звідси,  (як діагоналі прямокутника).

Блок-схема алгоритму додавання та віднімання векторів