Додавання і віднімання векторів

Правила додавання векторів.

Нехай  і  – два довільних вектори. За допомогою паралельного перенесення приведемо вектор  до довільної точки , а потім від кінця цього вектора відкладемо вектор .

Сумою цих векторів  буде вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець – із кінцем вектора  (правило трикутника).

Для знаходження суми векторів  можна також користуватись правилом паралелограма, згідно з яким вектори  та  приводять до спільного початку (точка ) і будують на цих векторах, як на суміжних сторонах, паралелограм. Тоді його діагональ, що виходить зі спільної вершини , є сумою векторів .

Зауваження: для обчислення суми  векторів  використовують правило замикання ламаної (узагальнення правила трикутників). У цьому разі до кінця вектора  треба приєднати вектор , до кінця  – вектор  і так далі. Тоді сумою векторів  буде вектор, початок якого співпадає з початком першого вектора , а кінець – із кінцем останнього вектора .

Властивості додавання векторів.

Операція додавання векторів задовільняє наступні алгебраїчні властивості:

• сума векторів коммутативна, тобто  для будь-яких  і ;
• сума векторів асоціатівна, тобто  для будь-яких векторів ,  і ;
• нульовий вектор є нейтральним щодо операції додавання, тобто  для будь-якого вектора ;
• сумою протилежних векторів є нуль-вектор, тобто .

Віднімання векторів.

Різницею  векторів  і  є вектор , який в сумі з вектором  дає вектор .

Звідси безпосередньо випливає правило віднімання векторів: щоб від вектора  відняти вектор , необхідно привести їх до спільного початку (точка ), після чого, з’єднати їх кінці за допомогою вектора , спрямованого у кінець зменшуваного вектора . В результаті отримаємо .

Зазначимо, що користуючись поняттям протилежних векторів, можна сформулювати інше правило віднімання: щоб отримати різницю векторів , потрібно до вектора  додати вектор, зворотний вектору , тобто .

За допомогою правила паралелограма можна знаходити як суму, так і різницю векторів  та .

Додавання і віднімання векторів – розв’язування прикладів.

Приклад 1: вектори  і  взаємно перпендикулярні, причому  і . Знайти  і .

Оскільки задані вектори взаємно перпендикулярні, то паралелограм, побудований на цих векторах, вироджується в прямокутник.

На основі властивості діагоналей прямокутника, а саме сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів його сторін, отримаємо:

Розв’язавши останнє рівняння відносно , будемо мати:

Звідси,  (як діагоналі прямокутника).

Блок-схема алгоритму додавання та віднімання векторів