Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

В курсі аналітична геометрія існує декілька типів рівнянь прямої на площині. В залежності від умови задачі, для зручності її розв’язку, використовують той чи іншим тип. Сьогодні розглянемо перший з них, а саме рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Отже, нехай дано кут , який утворює пряма  з віссю , і ордината точки перетину прямої з віссю (цю ординату також називають відрізком, який пряма відсікає на осі ). Відмітимо, що заданими величинами (параметрами) пряма цілком визначена. Знайдемо рівняння цієї прямої.

Знаходження рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Для цього, візьмемо довільну точку на прямій (праворуч від точки ) та проведемо два відрізка  і  паралельно координатним осям  та  відповідно. В результаті виконання даного кроку ми отримали трикутник , який, як видно з побудови, являється прямокутним. А виходячи з того, що у прямокутному трикутнику тангенс гострого кута дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого, будемо мати:

Якщо точка  буде взята на прямій  зліва від точки , то кут між віссю  і дорівнюватиме , але . Тобто формула (1) залишиться вірною і для даного випадку.

Таким чином, координати будь-якої точки прямої  задовольняють рівняння (1). Координати ж усякої точки , що не лежить на даній прямій, не задовольняють рівняння (1), так як вісь  утворюватиме з відрізком  цієї точки кут , відмінний від кута , тобто:

Звідси випливає, що рівняння (1) є рівняння заданої прямої . Запишемо дане рівняння у зручному для використання вигляді. Для цього, розв’яжемо його відносно невідомої та введемо додаткове позначення. В результаті рівняння (1) прийме наступного вигляду:

де коефіцієнт називається кутовим коефіцієнтом прямої.

Далі, розглянемо окремі випадки розташування прямих на площині та запишемо для кожного з них відповідне рівняння прямої. Отже:

1. При відрізок, що відсікається прямою на осі , дорівнює нулю, отже, пряма проходить через початок координат. Таким чином рівняння визначає пряму, що проходить через початок координат і не збігається з віссю .
2. При , пряма паралельна осі абсцис і її рівняння має вигляд .
3. У тому випадку коли значення для кутового коефіцієнта  не існує (), пряма являється паралельною осі ординат і її рівняння має вигляд , де – точка перетину прямої з віссю .

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом – приклад:

Записати рівняння прямої, що утворює з віссю абсцис кут  і відсікає на осі ординат відрізок .

Графік прямої, рівняння якої необхідно побудувати

Для цього, на першому кроці, знайдемо значення кутового коефіцієнта , після чого, скориставшись формулою (2), запишемо шукане рівняння:

Блок-схема алгоритму побудови рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом