Кут між двома прямими на площині

Однією із стандартних задач аналітичної геометрії є процес знаходження кута між двома прямими. Сьогодні покажемо, яким чином можна обчислити даний кут, знаючи кутові коефіцієнти прямих (при цьому припускається, що жодна з прямих не перпендикулярна до осі ).

Отже, розглянемо дві прямі та , які перетинаються в деякій точці  і через  позначимо кут, на який необхідно повернути пряму (1) навколо точки  в напрямку, протилежному обертанню годинникової стрілки, для того, щоб вона співпала з прямою (2).  Відмітимо, що говорячи про кут між двома прямими ми і будемо мати на увазі кут , і саме формулу для його обчислення нам необхідно знайти.

Знаходження кута між двома прямими

Для реалізації задуманого, позначимо кут, що утворює пряма (1) з віссю через , а пряма (2) – через . Так як кут  дорівнює куту повороту осі  до першого співпадіння з прямою (1), а кут  дорівнює куту повороту (1) до першого співпадіння з прямою (2), то . Звідси і

Але, виходячи з того, що і , останню формулу перепишемо у дещо іншому вигляді, і таким чином отримаємо остаточний варіант формули для обчислення кута між прямими (1) та (2):

Зауваження: формула (5) знаходить кут повороту прямої (1), що має кутовий коефіцієнт , до співпадіння з прямою (2), що має кутовий коефіцієнт . Для кута між прямою (2) і прямою (1) треба у формулі (5) в чисельнику дробу взяти , тобто права частина формули змінить знак на протилежний і кут, очевидно буде дорівнює . Якщо ж за умовою задачі потрібно знайти і один і другий кут, то в правій частині формули (5) треба взяти подвійний знак.

Знаходження кута між двома прямими – приклад:

Знайти кут між прямою та .

Кут між прямими y=1.665*x-2.331 та y=-3*x+1

Скориставшись формулою (5), отримаємо:

Таким чином, один з кутів, який утворюють дані прямі, дорівнює .

Блок-схема алгоритму знаходження кута між двома прямими