Матрицею розмірності називається таблиця чисел, яка складається з рядків та стовпців.

Прямокутна матриця

Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент  міститься в -му рядку та -му стовпці матриці . До прикладу, для матриці , розмірності , елемент а елемент .

Матриці, які складається з одного рядка або з одного стовпця, називаються матрицею-рядком (вектором-рядком), або матрицею-стовпцем (вектором-стовпцем) відповідно і записуються наступним чином:

Матриця-рядок, матриця-стовпець

Матриця називається квадратною, якщо число її рядків співпадає з числом стовпців і дорівнює . Набір елементів такої матриці утворюють головну діагональ, а набір – побічну. Наприклад, , являється квадратною матрицею другого порядку, для якої елементи 1, 2 утворюють головну діагональ, а елементи 4, 5 – побічну.

Квадратна матриця, всі елементи якої нижчи (вище) головної діагоналі рівні нулю, називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею:

Верхня тоикутна матриця, нижня трикутна матриця

Квадратна матриця, всі елементи якої, крім, елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею, а діагональну матрицю розмірності  всі елементи якої дорівнюють одиниці називають одиничною і позначають буквою Одинична матриця.

Також відмітимо, що матрицю будь-якого порядку називають нульовою, якщо всі її елемети рівні нулю. Нульова матриця позначають буквою Нульова матриця.

Діагональна матриця, одинина матриця, нульова матриця

Множенням матриці  на число називається матриця , кожен елемент якої дорівнює добутку числа  на елемент матриці , тобто Множення матриці на число формула.

Сумою двох матриць  та однакової розмірності називається матриця  кожен елемент якої дорівнює сумі відповідніх елементів обох матриць, тобто Додавання матриць формула.

Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції, а саме: Віднімання матриць формула.

Операція множення матриці  на матрицю  допустима в тому випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої, тобто коли дві матриці являються узгодженими. І, в такому випадку, добутком двох узгоджених матриць та називають матрицю , кожен елемент якої дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці  на відповідні елементи -го стовпця матриці , тобто:

Множення матриць формула

Результатом операції піднесення до степені квадратної матриці , будь-якої розмірності, називається матриця  тієї ж самої розмірності, яка визначається як добуток матриць рівних матриці , тобто Степінь матриці формула.

Зауваження: дві матриці  і  називаються рівнними, якщо вони складаються з одинакової кількості рядків і стовпців та рівні поелементно, тобто .

Дію, яка переводить рядки матриці  у стовпці і навпаки називається транспонуванням і позначається Транспонована матриця.

Транспонована матриця

Операції над матрицями – приклади:

Приклад 1: знайти матрицю  та матрицю , якщо

Матриці та мають однакові розміри . Отже, їх можна додавати і віднімати:

Приклад 2: знайти матрицю  і , якщо

Матриця розмірності  не узгоджена з матрицею розмірності . Отже, добутку не існує.

Матриця розмірності узгоджена з матрицею розміром . Отже, їхній добуток існує – матриця  розмірності :

Добуток матриць

Приклад 3: знайти транспоновану матрицю , якщо

Отже, згідно з означенням, після транспонування стовпці (рядки) матриці розмірності перетворюються на рядки (стовпці) матриці розміром :

Блок-схеми алгоритмів, що реалізують операції над матрицями

Операції над матрицями бдлк-схеми

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*