Означення матриці. Основні операції над матрицями

Матрицею розмірності називається таблиця чисел, яка складається з рядків та стовпців.

Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент  міститься в -му рядку та -му стовпці матриці . До прикладу, для матриці , розмірності , елемент а елемент .

Матриці, які складається з одного рядка або з одного стовпця, називаються матрицею-рядком (вектором-рядком), або матрицею-стовпцем (вектором-стовпцем) відповідно і записуються наступним чином:

Матриця називається квадратною, якщо число її рядків співпадає з числом стовпців і дорівнює . Набір елементів такої матриці утворюють головну діагональ, а набір – побічну. Наприклад, , являється квадратною матрицею другого порядку, для якої елементи 1, 2 утворюють головну діагональ, а елементи 4, 5 – побічну.

Квадратна матриця, всі елементи якої нижчи (вище) головної діагоналі рівні нулю, називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею:

Квадратна матриця, всі елементи якої, крім, елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею, а діагональну матрицю розмірності  всі елементи якої дорівнюють одиниці називають одиничною і позначають буквою .

Також відмітимо, що матрицю будь-якого порядку називають нульовою, якщо всі її елемети рівні нулю. Нульова матриця позначають буквою .

Множенням матриці  на число називається матриця , кожен елемент якої дорівнює добутку числа  на елемент матриці , тобто .

Сумою двох матриць  та однакової розмірності називається матриця  кожен елемент якої дорівнює сумі відповідніх елементів обох матриць, тобто .

Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції, а саме: .

Операція множення матриці  на матрицю  допустима в тому випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої, тобто коли дві матриці являються узгодженими. І, в такому випадку, добутком двох узгоджених матриць та називають матрицю , кожен елемент якої дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці  на відповідні елементи -го стовпця матриці , тобто:

Результатом операції піднесення до степені квадратної матриці , будь-якої розмірності, називається матриця  тієї ж самої розмірності, яка визначається як добуток матриць рівних матриці , тобто .

Зауваження: дві матриці  і  називаються рівнними, якщо вони складаються з одинакової кількості рядків і стовпців та рівні поелементно, тобто .

Дію, яка переводить рядки матриці  у стовпці і навпаки називається транспонуванням і позначається .

Операції над матрицями – приклади:

Приклад 1: знайти матрицю  та матрицю , якщо

Матриці та мають однакові розміри . Отже, їх можна додавати і віднімати:

Приклад 2: знайти матрицю  і , якщо

Матриця розмірності  не узгоджена з матрицею розмірності . Отже, добутку не існує.

Матриця розмірності узгоджена з матрицею розміром . Отже, їхній добуток існує – матриця  розмірності :

Приклад 3: знайти транспоновану матрицю , якщо

Отже, згідно з означенням, після транспонування стовпці (рядки) матриці розмірності перетворюються на рядки (стовпці) матриці розміром :

Блок-схеми алгоритмів, що реалізують операції над матрицями