Матрицею розмірності
називається таблиця чисел, яка складається з
рядків та
стовпців.
Числа, що складають матрицю, називаються її елементами і нумеруються двома індексами, які вказують на номер рядка та стовпця на перетині яких розташований даний елемент. Тобто, елемент міститься в
-му рядку та
-му стовпці матриці
. До прикладу, для матриці
, розмірності
, елемент
а елемент
.
Матриці, які складається з одного рядка або з одного стовпця, називаються матрицею-рядком (вектором-рядком), або матрицею-стовпцем (вектором-стовпцем) відповідно і записуються наступним чином:
Матриця називається квадратною, якщо число її рядків співпадає з числом стовпців і дорівнює . Набір елементів
такої матриці утворюють головну діагональ, а набір
– побічну. Наприклад,
, являється квадратною матрицею другого порядку, для якої елементи 1, 2 утворюють головну діагональ, а елементи 4, 5 – побічну.
Квадратна матриця, всі елементи якої нижчи (вище) головної діагоналі рівні нулю, називається верхньою (нижньою) трикутною матрицею:
Квадратна матриця, всі елементи якої, крім, елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною матрицею, а діагональну матрицю розмірності всі елементи якої дорівнюють одиниці називають одиничною і позначають буквою
.
Також відмітимо, що матрицю будь-якого порядку називають нульовою, якщо всі її елемети рівні нулю. Нульова матриця позначають буквою .
Множенням матриці на число
називається матриця
, кожен елемент якої дорівнює добутку числа
на елемент матриці
, тобто
.
Сумою двох матриць та
однакової розмірності називається матриця
кожен елемент якої дорівнює сумі відповідніх елементів обох матриць, тобто
.
Різниця двох матриць однакового розміру визначається через попередні операції, а саме: .
Операція множення матриці на матрицю
допустима в тому випадку, коли число стовпців першої матриці дорівнює числу рядків другої, тобто коли дві матриці являються узгодженими. І, в такому випадку, добутком двох узгоджених матриць
та
називають матрицю
, кожен елемент
якої дорівнює сумі добутків елементів
-го рядка матриці
на відповідні елементи
-го стовпця матриці
, тобто:
Результатом операції піднесення до степені квадратної матриці
, будь-якої розмірності, називається матриця тієї ж самої розмірності, яка визначається як добуток
матриць рівних матриці
, тобто
.
Зауваження: дві матриці і
називаються рівнними, якщо вони складаються з одинакової кількості рядків і стовпців та рівні поелементно, тобто
.
Дію, яка переводить рядки матриці у стовпці і навпаки називається транспонуванням і позначається
.
Операції над матрицями – приклади:
Приклад 1: знайти матрицю та матрицю
, якщо
Матриці та
мають однакові розміри
. Отже, їх можна додавати і віднімати:
Приклад 2: знайти матрицю і
, якщо
Матриця розмірності
не узгоджена з матрицею
розмірності
. Отже, добутку
не існує.
Матриця розмірності
узгоджена з матрицею
розміром
. Отже, їхній добуток існує – матриця
розмірності
:
Приклад 3: знайти транспоновану матрицю , якщо
Отже, згідно з означенням, після транспонування стовпці (рядки) матриці розмірності
перетворюються на рядки (стовпці) матриці
розміром
: