Нехай – квадратна матриця -го порядку. Квадратна матриця , також -го порядку, називається оберненою до , якщо . Нагадаємо, що для будь-якої квадратної матриці існує обернена, при чому єдина, в тому випадку, коли вона являється невиродженою, тобто визначник даної матриці відмінний від нуля.

Для знаходження оберненої матриці будемо використовувати наступний алгоритм:

  1. За допомогою методу Гаусса чи методу розкладу визначника, обчислюємо детермінант матриці .
  2. Знаходимо транспоновану матрицю (отримують з вихідної матриці шляхом заміни її рядків стовпцями).
  3. Для кожного елемента транспонованої матриці обчислюємо алгебраїчні доповнення (алгебраїчне доповнення елемента – це мінор, взятий зі знаком «+» якщо сума номера рядка і стовпця елемента парне число, і зі знаком «-» – у протилежному випадку; мінор елемента матриці – це визначник (n-1)-го порядку, який утворюється з початкового визначника, шляхом закреслення рядка та стовпця, в яких міститься даний елемент).
  4. На наступному кроці, для того, щоб знайти обернену матрицю, використовується наступна формула:

Обернена матриця - формула

Обернена матриця – приклад знаходження:

Використовуючи розглянутий вище алгоритм, знайти обернену матрицю до матриці наступного вигляду:

Для початку, обчислимо визначник матриці , розклавши його по елементах першого рядка:

Виходячи з того, що отримане значення є відмінним від нуля, то для  існує обернена матриця. Отже, перейшовши до кроку номер два знайдемо транспоновану матрицю , після чого, для кожного елемента транспонованої матриці обчислимо алгебраїчні доповнення:

Далі, скориставшись формулою (1), знайдемо обернену матрицю до заданої:

Зауваження: порядок обчислення елементів і транспонування матриці може бути іншим. Можна спочатку обчислити алгебраїчні доповнення матриці , а потім транспонувати матрицю алгебраїчних доповнень. В результаті повинні вийти ті ж результати.

Блок-схема алгоритму знаходження оберненої матриці за допомогою алгебраїчних доповнень

Обернена матриця блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*