Іноді буває доцільно, при знаходженні оберненої матриці, попередньо розбити її на клітини. Розглянемо даний процес більш детально. Для цього, на першому кроці, розіб’ємо матрицю  порядку  на чотири клітини, використовуючи для цього наступну схему:

де в дужках вказані порядки відповідних клітин, причому . Після цього, обернену матрицю до заданої будемо шукати у вигляді матриці, яка також складатиметься з чотирьох клітин. Тобто:

Скориставшись означенням оберненої матриці, а саме , перемножимо матриці (1) та (2). В результаті отримаємо чотири матричних рівняння:

де та – одиничні матриці відповідних порядків. Знайшовши розв’язок даної системи, визначимо клітини матриці .

Для знаходження розв’язку системи (3) використовуємо спосіб виключення невідомих, тобто, помножимо справа перше рівняння системи (3) на і віднімаючи з результату множення друге рівняння цієї сімстеми, отримаємо:

Звідси знаходимо і .

Аналогічно з третього та четвертого рівнянь системи (3) визначаємо  та . Тут, звичайно, передбачається, що відповідні операції мають сенс.

Таким чином, знаходження оберненої матриці порядку , в такий спосіб, зводиться до відшукання елементів чотирьох обернених матриць, дві з яких мають порядок і дві порядку , та здійснення декількох операцій множення.

Виведені формули можна змінити таким чином, що для обчислення елементів матриці  потрібно відшукати лише дві обернені матриці порядку  та . Для цього, введемо в розгляд матриці:

Тоді формули для обчислення клітин можна записати в дещо простішому вигляді:

Зауваження: формули (9) визначають клітини матриці за умови, що і існують. Обчислення зручно здійснювати у вигляді наступної схеми:

Обернена матриця - метод розбиття на клітини

Обчислювальна схема знаходження оберненої матриці

Обернена матриця – приклад знаходження:

Використовуючи розглянутий алгоритм, знайти обернену матрицю до матриці наступного вигляду:

Для цього, як уже зазначалося вище, розіб’ємо матрицю  на чотири клітини. В результаті отримаємо:

Застосовуючи далі наведену вище схему, матимемо:

Як знайти обернену матрицю - приклад

Обернена матриця методом розбиття на клітини

Відмітимо, що в даному прикладі, процес множення матриць та обчислення елементів обернениої матриці другого порядку ми детально не росписували. За бажанням дані операції більш детально можна розглянути перейшовши за посиланням означення та основні операції над матрицями та знаходження оберненої матриці за допомогою алгебраїчних доповненень.

Блок-схема алгоритму знаходження оберненеої матриці методом розбиття на клітини

Обернена матриця блок-схема

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *

*